Title: 1BAS_02_INF_exponent rules

Multiplikation mit gleicher Basis

Unbenannter Text

Potenzen mit derselben Basis werden multipliziert, indem die Exponenten addiert und die Basis beibehalten werden.

\[a^m\cdot a^n = a^{m+n}\]

\[a \ne 0, n,m \in\mathbb{N}\]

Herleitung: \(a^m\cdot a^n = \underbrace{a\cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{m-mal} \cdot \underbrace{a\cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n-mal} = \underbrace{a\cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{(m+n)-mal} = a^{m+n}\)

Division mit gleicher Basis

Unbenannter Text

Potenzen mit derselben Basis werden dividiert, indem die Exponenten subtrahiert und die Basis beibehalten werden.

\[\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\]

\[a \ne 0, n,m \in\mathbb{N}\]

Herleitung (für \(m > n\)): \(\frac{a^m}{a^n} =\frac{\overbrace{a\cdot a \cdot \ldots \cdot a \cdot a}^{n-mal}\cdot \overbrace{a \cdot \ldots \cdot a}^{(m-n)-mal}} {\underbrace{a\cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n-mal}} =\underbrace{a\cdot \ldots \cdot a}_{(m-n)-mal} = a^{m-n}  \)

Beispiel: \(\frac{2^4}{2^2} = \frac{2\cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}{2 \cdot 2} = \frac{2\cdot 2}{1} = 2^2\)

Potenzen potenzieren

Unbenannter Text

Potenzen werden potenziert, indem die die Exponenten multipliziert und die Basis beibehalten werden.

\[\left(a^m\right)^n = a^{m\cdot n}\]

\[a \ne 0, n, m \in\mathbb{N}\]

Herleitung: \(\left(a^m\right)^n = \underbrace{a^m \cdot a^m \cdot \ldots \cdot a^m}_{n-mal} = \underbrace{\overbrace{a\cdot \ldots \cdot a}^{m-mal} \cdot \ldots \cdot \overbrace{a\cdot \ldots \cdot a}^{m-mal}}_{n-mal} =  a^{m\cdot n}\)

Multiplikation mit gleichem Exponenten

Unbenannter Text

Potenzen mit demselben Exponenten werden miteinander multipliziert, indem die Basen miteinander multipliziert und der Exponent beibehalten werden.

\[a^n \cdot b^n = (a\cdot b)^n \]

\[a \ne 0, n \in\mathbb{N}\]

Herleitung: \(\left(a\cdot b\right)^n =  \underbrace{ab\cdot ab\cdot \cdot \ldots \cdot ab}_{n-mal} = \underbrace{a\cdot \ldots \cdot a}_{n-mal}\cdot \underbrace{b\cdot \ldots \cdot b}_{n-mal} = a^n\cdot b^n\)

Division mit gleichem Exponenten

Unbenannter Text

Potenzen mit demselben Exponenten werden dividiert, indem die Basen dividiert und der Exponent beibehalten werden.

\[ \frac{a^n}{b^n} = \left(\frac{a}{b}\right)^n \]

\[a \ne 0, n \in\mathbb{N}\]

Herleitung: \( \left(\frac{a}{b}\right)^n = \underbrace{\frac{a}{b} \cdot \ldots \cdot \frac{a}{b}}_{n-mal} = \frac{\overbrace{a\cdot \ldots \cdot a}^{n-mal}}{\underbrace{b\cdot \ldots \cdot b}_{n-mal}} = \frac{a^n}{b^n} \)