Title: Zahlenmengen

Authors: Eva Schirgi (Author)
Licence: CC BY 4.0

natürliche Zahlen

Unbenannter Text

Die Menge der natürlichen Zahlen besteht aus den Zahlen, die für das (Ab-)Zählen verwendet werden. Üblicherweise wird auch die Null dazugezählt.

Das Symbol für die natürlichen Zahlen ist \(\mathbb{N}\).

\(\mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, 4, ...\}\)

Wird die Null ausgeschlossen, werden die Symbole \(\mathbb{N}^*\) oder \(\mathbb{N}^+\) verwendet.

\(\mathbb{N}^* = \{x\in \mathbb{N}\mid x \ne 0\}\)

ganze Zahlen

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Die Menge der ganzen Zahlen ist eine Obermenge der natürlichen Zahlen. Diese Menge enthält zusätzlich zu den natürliche Zahlen die negativen Zahlen, die entstehen, wenn von 0 eine natürliche Zahl abgezogen wird (\(0 - a = -a\) mit \(a \in \mathbb{N}\)).

Das Symbol für die ganze Zahlen ist \(\mathbb{Z}\).

\(\mathbb{Z} = \{..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...\}\)

rationale Zahlen

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Die Menge der ganzen Zahlen ist eine Obermenge der ganzen Zahlen. Diese Menge umfasst neben den ganzen Zahlen alle jene Zahlen, die sich durch eine Division von ganzen Zahlen ergeben: \(\frac{a}{b}\) mit \(a, b \in \mathbb{Z}\) und \(b\ne 0\)

Das Symbol für die ganze Zahlen ist \(\mathbb{Q}\).

\(\mathbb{Q} = \{\frac{a}{b}\mid a,b \in \mathbb{Z}, b \ne 0\}\)

reelle Zahlen

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Die Menge der reellen Zahlen beinhaltet neben den rationalen Zahlen auch die irrationale Zahlen. Irrationale Zahlen sind Zahlen, deren Dezimalbrüche nicht abbrechend und nicht periodisch sind. Dazu zählen \(\pi\), einige Wurzelterme wie \(\sqrt{2}\), die Eulersche Zahl \(\mathrm{e}\); die Menge, die alle irrationalen Zahlen enthält, wird mit \(\mathbb{I}\) bezeichnet.

Das Symbol für die reellen Zahlen ist \(\mathbb{R}\).

\(\mathbb{R} =\mathbb{Q} \cup \mathbb{I}\)

komplexe Zahlen

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Die Menge der komplexen Zahlen umfasst neben den reellen Zahlen auch die Wurzel aus negativen Zahlen.

Dazu wird die imaginäre Einheit \(i\) durch \(i^2 = -1\) definiert. Eine komplexe Zahl besteht aus zwei Teilen: \(z = a + b\cdot i\) mit \(a, b \in \mathbb{R}\).

Das Symbol für die reellen Zahlen ist \(\mathbb{C}\).

\(\mathbb{C} = \{a + bi \mid a, b \in \mathbb{R}\}\)

Zusammenhang der Zahlenmengen

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\(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}\)

Rechengesetze

Text unbenannt