Title: Rechnen mit Brüchen - kompakt

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Definition von Bruch

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Ein Bruch entspricht einer Division, die durch einen Bruchstrich gekennzeichnet ist.

\(\frac{\overbrace{A}^{Zähler}}{\underbrace{B}_{Nenner}} = A \div B\)

Der Zähler entspricht dem Dividenten eines Bruches, der Nenner dem Divisor.

Arten von Brüchen

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Man unterscheidet zwischen

- echten Brüchen
- unechten Brüchen
- gemischte Zahlen.

echte Brüche: Der Zähler ist kleiner als der Nenner, z. B. \( \frac{3}{5}\)

unechte Brüche: Der Zähler ist größer als der Nenner, z. B. \(\frac{9}{5}\)

gemischte Zahlen: bestehen aus einer Zahl und einem Bruch, z. B. \(2\frac{1}{5}\). Gemischte Zahlen können zu unechten Brüchen umgeformt werden, z. B. \(2\frac{1}{5} = \frac{11}{5}\)

Beispiel: Brüche erkennen

Q: Kreuzen Sie an, welche von den Aussagen für den folgenden Term stimmen:

\[\frac{234}{233}\]
- Es ist ein echter Bruch.
- Es ist ein unechter Bruch. (correct)
- Der Nenner ist größer als Zähler.
- Der Bruch kann in eine gemischte Zahl umgeformt werden. (correct)
- 233 wird durch 234 dividiert.

Beispiel: Brüche erkennen

Q: Kreuzen Sie an, welche von den Aussagen für den folgenden Term stimmen:

\[\frac{2489}{2491}\]
- Es ist ein echter Bruch. (correct)
- Es ist ein unechter Bruch.
- Der Nenner ist größer als Zähler. (correct)
- Der Bruch kann in eine gemischte Zahl umgeformt werden.
- 2489 wird durch 2491 dividiert. (correct)

Kürzen & Erweitern

Kürzen von Brüchen

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Kürzen bedeutet, dass der Zähler und der Nenner eines Bruches durch denselben Faktor geteilt werden. Dazu muss es natürlich einen solchen gemeinsamen Faktor geben.

Für das Kürzen müssen der Zähler und der Nenner in Faktoren zerlegt werden.

Vorgehensweise beim Kürzen:

1. Zerlegen des Zählers und des Nenners in Faktoren
2. Streichen der gemeinsamen Faktoren

Beispiel: \(\frac{12}{90} = \frac{2\cdot 2\cdot 3}{2\cdot 3\cdot3 \cdot 5} = \frac{2}{3 \cdot 5}\)

Erweitern von Brüchen

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Beim Erweitern eines Bruches werden sowohl der Zähler als auch der Nenner des Bruches mit demselben Faktor multipliziert. Der Bruch selbst verändert sich, aber nicht der Wert: Durch Kürzen kommt man wieder zum ursprünglichen Bruch.

Beispiel: \(\frac{9}{10} = \frac{9\cdot 3}{10\cdot 3} = \frac{27}{30}\)

Beispiel: Brüche erweitern und kürzen

Q: Kreuzen Sie alle Aussagen an, bei denen richtig gekürzt und/oder erweitert wurde.
- \(\frac{4}{10} = \frac{2}{5}\) (correct)
- \(\frac{84}{105} = \frac{4}{5}\) (correct)
- \(\frac{30}{105} = \frac{3}{10}\)