Title: Formalsystem

Unbenannter Accordion

Formales System

Unbenannter Text

Grundlage der Mathematik ist ein formales System, das mithilfe einer formalen Sprache gebildet wird. Die formale Sprache der Mathematik ermöglicht es, alle Ab- und Herleitungen nur auf der Ebene der Zeichenketten zu vollziehen. Mit diesem Ansatz wird zwischen Objekt- und Bedeutungsebene unterschieden.

Aufbau des formalen Systems

Unbenannter Text

Ein formales System ist wie eine Sprache aufgebaut, dazu braucht es

- einen Vorrat an Zeichen (Alphabet) und
- präzise festgelegte Bildungsregeln (Syntax)

Mithilfe des Alphabets und der Syntax werden Zeichenketten gebildet, die in der Mathematik gültig sind. Die Zeichenketten haben keine eigene Bedeutung, sie müssen nur syntaktisch korrekt sein.

Formel

Unbenannter Text

Formeln eines formalen Systems ist eine Zeichenkette. Sie bestehen aus einer (endlichen) Reihe der Grundzeichen (Variable, logische Konstante und Klammern).

Da sie nur auf syntaktische Regeln basieren, ist es leicht zu bestimmen, welche Reihen von Grundzeichen sinnvolle Formeln sind und welche nicht.

Beispiel für ein formales System

Unbenannter Text

Alphabet: alle Zahlen zwsichen 0 und 1 und ein Zeichen: \(A = \{1,2,3,4,5,6,7,8,9,0, +\}\)

Syntax (Regeln):

- Zahlen werden aus einer oder mehreren Ziffern gebildet, die nebeneinander stehen.
- Das Zeichen \(+\) darf nur zwischen zwei Zahlen stehen.

wohlgeformte Zeichenketten: \( 13\) oder \(3333 + 29\)
nicht wohlgeformte Zeichenketten: \(++4\) oder \(23+4+\)

Beispiel: formales System

Q: Gegeben ist ein formales System mit dem Alphabet A = {a, b, c, e} und Regeln:
(1) Jede Zeichenkette, bestehend aus 4 Zeichen aus A, ist gültig.
(2) Jede gültige Zeichenkette beginnt mit einem Konsonanten.

Kreuzen Sie an, welche der folgenden Zeichenketten gültig sind.
- \(cbae\) (correct)
- \(bbaa\) (correct)
- \(bade\)
- \(abce\)
- \(cabea\)