Title: Binomische Formeln

Authors: Jonas Förstner-Heschl (Originator); Eva Schirgi (Author)
Licence: CC BY 4.0

Binomische Formeln

werden zum Umformen von Produkten aus Binomen wie

\((a+b)^2\) oder \((2\cdot x-y)^2\) etc.

verwendet und erleichtern zum Beispiel das Ausmultiplizieren von Klammerausdrücken.

Es gibt drei binomischen Formeln:

\( \begin{align} (a+b)^2 &= a^2 + 2ab + b^2 \\ (a-b)^2 &= a^2 - 2ab + b^2 \\ (a+b) \cdot (a-b) &= a^2 - b^2 \end{align} \)

Ausmultiplizieren der ersten Binomischen Formel

Herleitung der 1. binomische Formel

(für eine kurze Erklärungen umdrehen)

Q: \(\begin{align} (a+b)^2 &= (a+b) \cdot (a+b) \\ &= a^2+ab + ba + b^2\\ &= a^2 + 2ab + b^2 \end{align}\)
A: Die Poten als Multiplikation geschrieben und die Binome ausmultipliziert

Q: \( a \cdot a + a \cdot b + b \cdot a + b \cdot b \)
A: Die Klammern ausmultiplizieren

Q: \( a^2+2ab + b^2 \)
A: Zusammenfassen

Ausmultiplizieren der ersten Binomischen Formel

Herleitung der 2. binomische Formel

(für eine kurze Erklärungen umdrehen)

Q: \(\begin{align} (a-b)^2 &= (a-b) \cdot (a-b) \\ &= a^2-ab-ba+b^2\\ &= a^2-2ab+b^2\end{align}\)
A: Die Potenz wird als Multiplikation von zwei Binomen geschrieben und die Binome ausmultipliziert.

Q: \( a \cdot a - a \cdot b - b \cdot a + b \cdot b \)
A: Die Klammern ausmultiplizieren

Q: \( a^2-2ab + b^2 \)
A: Zusammenfassen

Ausmultiplizieren der ersten Binomischen Formel

Herleitung der 3. binomische Formel

(für eine kurze Erklärungen umdrehen)

Q: \(\begin{align} (a+b) \cdot (a-b) &= a^2 -ab +ba-b^2\\ &=a^2-b^2 \end{align} \)
A: Die Binome werden ausmultipliziert und die gleichen Terme zusammengezählt. Damit fällt der gemischte Term \(ab\) weg.

Q: \( a \cdot a - a \cdot b + b \cdot a - b \cdot b \)
A: Die Klammern ausmultiplizieren

Q: \( a^2-b^2 \)
A: Zusammenfassen