Title: 4ANA_01_INF_Funktionstypen

Authors: Eva Schirgi (Author)
Licence: CC BY 4.0

konstante Funktion

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Eine konstante Funktion hat die Funktionsgleichung \(f(x) = c\) mit beliebiger reeller Zahl \(c \in \mathbb{R}\).

Sie entspricht einer linearen Funktion mit Steigung 0. Der Graph ist eine Gerade parallel zur \(x\)-Achse.

lineare Funktion

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Eine lineare Funktion hat die allgemeine Funktionsgleichung \(f(x) = k\cdot x + d\), wobei der Parameter \(k\) für die Steigung steht und \(d\) für den Achsenabschnitt.

Der Graph der Funktion ist eine Gerade, die die \(y\)-Achse beim Punkt \((0, d)\) schneidet.

Potenzfunktion vom Grad n

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Eine Potenzfunktion vom Grad \(n\) hat die allgemeine Funktionsgleichung \(f(x) = a\cdot x^n\) mit dem reellen Parameter \(a \ne 0\) und \(n \in \mathbb{Z}\).

Der Exponent \(n\) entscheidet über das Aussehen der Funktion:

- \(n\) positiv und gerade: achsensymmetrische Funktion
Beispiel: \(f(x) = x^2\)
- \(n\) positiv und ungerade: punktsymmetrische Funktion
Beispiel: \(f(x) = x^3\)
- \(n\) negativ: Funktion ist eine gebrochen rationale Funktion
Beispiel: \(f(x) = x^{-1} = \frac{1}{x}\)

Polynomfunktion vom Grad n

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Eine Polynomfunktion vom Grad \(n\) hat die allgemeine Funktionsgleichung \(f(x) = a_n\cdot x^n + a_{n-1}\cdot x^{n-1} + \ldots + a_1\cdot x + a_0\), wobei die Parameter \(a_0, a_1, \ldots, a_n\) beliebige reelle Zahlen sind und \(a_n \ne 0\) sein muss. Der Term mit der höchsten Potenz bestimmt den Grad der Funktion.

Exponentialfunktion

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Eine Exponentialfunktion hat die allgemeine Funktionsgleichung \(f(x) = a\cdot b^x\), wobei für die Parameter gilt: \(a \ne 0\),  \(b > 0\) und \(b \ne 1\).

Der Parameter \(a \ne 0\) wird Streckfaktor oder Anfangswert genannt. Die Basis \(b\) gibt den Verlauf der Kurve an.

Diese Funktion wird oft für die Modellierung von exponentielles Wachstum (wie Ausbreitung von Viren) oder exponentiellen Zerfall (wie Zerfall von radioaktiven Stoffen) verwendet.

- Wachstum: \(b>1\)
- Zerfall: \(0 < b < 1\)

Logarithmusfunktion

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Eine Logarithmusfunktion hat die allgemeine Funktionsgleichung \(f(x) =log_a{x}\), wobei für die Parameter gilt: \(a \ne 0\),  \(b > 0\) und \(b \ne 1\).

Für \(b > 1\) ist die Funktion streng monoton wachsend, für \(0 < b < 1\) ist die Funktion streng monoton fallend.