Title: 4ANA_03_INF_Ableitungen

Authors: Eva Schirgi (Author)
Licence: CC BY 4.0

Ableitung einer konstanten Funktion

Text unbenannt

Eine konstante Funktion \(f(x) = c\) mit beliebigen reellem Parameter \(c\) wird folgendermaßen abgeleitet:

\(f'(x) = 0\)

Hinweis: Eine konstante Funktion ist eine waagrechte Gerade, die Steigung dieser Funktion ist gleich 0.

Ableitung einer linearen Funktion

Text unbenannt

Eine lineare Funktion \(f(x) = k\cdot x + d\) mit den reellen Parameter \(k\) und \(d\) wird folgendermaßen abgeleitet:

\(f'(x) = k\)

Hinweis: Eine lineare Funktion ist eine Gerade mit der Steigung \(k\).

Ableitung einer Potenzfunktion

Text unbenannt

Eine Potenzfunktion \(f(x) = x^n\) mit ganzzahligem Exponenten \(n\) wird folgendermaßen abgeleitet:

\(f'(x) = n\cdot x^{n-1}\)

Hinweis: Eine Potenzfunktion ist eine Kurve, bei der die Steigung über den gesamten Definitionsbereich unterschiedlich ist.

Ableitung einer Exponentialfunktion

Text unbenannt

Die Exponentialfunktion \(f(x) = \mathrm{e}^x\) mit Basis \(\mathrm{e}\) wird folgendermaßen abgeleitet:

\(f'(x) = e^x\)

Hinweis: Die Exponentialfunktion mit Basis \(\mathrm{e}\) ist eine streng monoton steigende Kurve, bei der die Steigung wieder exponentiell wächst.

Die Ableitung der allgemeinen Exponentialfunktion \(f(x) = a\cdot b^x\) mit \(a \in \mathbb{R}\setminus\{0\}\) und \(b \in \mathbb{Z}\setminus\{0,1\}\) ergibt sich aus der Umformung auf Basis \(\mathrm{e}\) und aus der Anwendung der Kettenregel:

\(f'(x) = a\cdot \ln(b)\cdot b^x\)

Ableitung einer Logarithmusfunktion

Text unbenannt

Die Logarithmusfunktion \(f(x) = \ln(x)\) zur Basis \(\mathrm{e}\) wird folgendermaßen abgeleitet:

\(f'(x) = \frac{1}{x}\)

Hinweis: Die logarithmische Funktion zur Basis \(\mathrm{e}\) ist eine streng monoton steigende Kurve, bei der die Steigung mit größer werdenden \(x\) kleiner wird.

Die Ableitung der allgemeinen Logarithmusfunktion \(f(x) = a\cdot log_b(x)\) mit \(a \in \mathbb{R}\setminus\{0\}\) und \(b \in \mathbb{Z}\setminus\{0,1\}\) ergibt sich aus der Umformung zur Basis \(\mathrm{e}\):

\(f'(x) = a\cdot \frac{1}{x\cdot \ln(b)}\)

Ableitung mit konstantem Faktor

Text unbenannt

Für eine Funktion mit konstantem Faktor \(f(x) = k\cdot h(x)\) ist die Ableitung \(f'(x) = k\cdot h'(x)\)

Beispiel:

\(f(x) = 4\cdot x^2\) mit der Potenzfunktion \(h(x) = x^2\) und dem konstanten Faktor (k = 4\)

\(f'(x) = 4\cdot 2\cdot x = 8\cdot x\)

Summenregel

Text unbenannt

Für Ableitung einer Summe von Funktionen \(f(x) = h(x) + g(x)\) wird jede Funktion extra abgeleitet.

\(f'(x) = h'(x) + g'(x)\)

Beispiel:

\(f(x) = x^2 + x - 1\) mit der Potenzfunktion \(h(x) = x^2\) und der linearen Funktion \(g(x) = x-1\)

\(f'(x) = 2x +1 \)