Title: 4ANA_03_INF_Ableitungsregeln

Authors: Eva Schirgi (Author)
Licence: CC BY 4.0

Produktregel

Text unbenannt

Eine Funktion kann aus einem Produkt von zwei (oder mehr) Funktionen bestehen: \(f(x) = h(x)\cdot g(x)\). Für diese Art von Funktionen muss man die Produktregel anwenden:

\(f'(x) = h'(x)\cdot g(x) + h(x) \cdot g'(x)\)

Alternative Schreibweise: \(f = u\cdot v \rightarrow f' = u'\cdot v + u\cdot v'\)

Beispiel:
\(f = x^3 \cdot \ln(x)\) mit \(u = x^3\) und \(v = \ln(x)\)

\(f' = 3\cdot x^2\cdot \ln(x) + x^3\cdot \frac{1}{x} = x^2\cdot \left(3\cdot\ln(x) + 1\right)\)

Quotientenregel

Text unbenannt

Eine Funktion kann ein Bruch von zwei Funktionen sein: \(f(x) = \frac{h(x)}{g(x)}\). Für diese Art von Funktionen muss man die Quotientenregel anwenden (oder zum Produkt umformen und die Produktregel anwenden):

\(f'(x) = \frac{h'(x)\cdot g(x) - h(x) \cdot g'(x)}{(g(x))^2}\)

Alternative Schreibweise: \(f = \frac{u}{v} \rightarrow f' = \frac{u'\cdot v - u\cdot v'}{v^2}\)

Beispiel:
\(f = \frac{x^3}{x +1}\) mit \(u = x^3\) und \(v = x+1\)

\(f' = \frac{3\cdot x^2\cdot (x+1) - x^3\cdot 1}{(x+1)^2} = \frac{2x^3+3x^2}{(x+1)^2} = \frac{x^2\cdot(2x+3)}{(x+1)^2} \)

Kettenregel

Text unbenannt

Eine zusammengesetzte Funktion enthält als Argument wiederum eine Funktion: \(f(x) = g(h(x))\). Für diese Art von Funktionen muss man die Kettenregel anwenden:

\(f'(x) = h'(g(x))\cdot g'(x)\)

Alternative Schreibweise: \(f = u(v) \rightarrow f' =u'(v)\cdot v'\)

Beispiel:
\(f = \ln(x^2-1) \) mit \(u(v) = \ln(v)\) und \(v = x^2-1\)

\(f' =\frac{1}{v} \cdot (2x) = \frac{1}{x^2-1} \cdot (2x)  \)