Title: 4ANA_01_Polynomfunktion

Authors: Eva Schirgi (Author)
Licence: CC BY 4.0

Definition einer Polynomfunktion

Text unbenannt

Eine Polynomfunktion vom Grad \(n\) besteht aus einem Polynom, also aus einem Term, der mehrere Variablen mit verschiedenen positiven und ganzzahligen Exponenten enthält.

allgemeine Funktionsgleichung:

\(f(x) = a_n\cdot x^n + a_{n-1}\cdot x^{n-1} + \ldots + a_1\cdot x + a_0\)
mit
\(a_0, a_1, a_2, \ldots, a_{n-1}, a_n \in \mathbb{R}\) und \(a_n \ne 0\)

Grad einer Polynomfunktion

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Der Grad einer Polynomfunktion wird über den höchsten Exponenten im Polynom bestimmt.

Beispiele:

\(f(x) = -x^3 + x^2 +1\) ... Polynom vom Grad 3 (kubische Funktion)
\(f(x) = 3x^7 - 1\)           ... Polynom vom Grad 7
\(f(x) = x^2 -2x - 5\)    ... Polynom vom Grad 2 (quadratische Funktion)

Spezielle Polynomfunktionen (aufgrund des Grades)

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Grad \(n = 0\):  konstante Funktion \( \qquad f(x) =  a_0 \qquad\)

Grad \(n = 1\):  lineare Funktion \(\qquad\quad f(x) = a_1\cdot x + a_0 \quad \)  mit \(k = a_1, d = a_0\)

Grad \(n = 2\): quadratische Funktion \(\quad f(x) = a_2\cdot x^2 + a_1\cdot x + a_0\quad\)  mit  \(a = a_2, b = a_1, c = a_0\)

Grad \(n = 3\): kubische Funktion \(\qquad f(x) = a_3\cdot x^3 + a_2\cdot x^2 + a_1\cdot x + a_0 \quad\) mit \(a = a_3, b = a_2, c = a_1, d = a_0\)

Potenzfunktionen

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Eine Potenzfunktion vom Grad \(n\) ist eine Polynomfunktionen, bei der nur die Potenz mit dem höchsten Exponenten vorkommt:

\(f(x) = a\cdot x^n + b\)

Für die Koeffizienten gilt somit: \(a_n = a, a_0 = b \quad \text{und} \quad a_1, a_2, \ldots, a_{n-1} = 0\)