Title: 4ANA_01_INF_Polynomfunktion_Verlauf

Authors: Eva Schirgi (Author)
Licence: CC BY 4.0

Verlauf einer Polynomfunktion

Text unbenannt

Der Grad einer Polynomfunktion gibt Rückschlüsse auf den Verlauf einer Funktion, also wie die Funktion von links nach rechts verläuft. Dabei betrachtet man vor allem die Funktionswerte für sehr große und sehr kleine \(x\)-Werte.

- Grad \(n\) gerade: Wenn \(a > 0\) ist, dann gilt: \(\lim_{x\rightarrow \pm \infty} f(x) = \infty\).
Das heißt, je größer oder kleiner der \(x\)-Wert wird, desto größer wird der Funktionswert.
Salopp ausgedrückt: Der Graph der Funktion beginnt und endet  bei \(+ \infty\).
- Grad \(n\) ungerade: Wenn \(a > 0\) ist, dann gilt: \(\lim_{x\rightarrow \infty} f(x) = \infty\) und \(\lim_{x\rightarrow -\infty} f(x) = -\infty\)
Das heißt, je größer der \(x\)-Wert wird, desto größer wird der Funktionswert, aber je kleiner der \(x\)-Wert, desto kleiner wird der Funktionswert.
Salopp ausgedrückt: Der Graph der Funktion beginnt bei \(-\infty\) und endet bei \(+ \infty\).

(Für \(a <0\) gelten analoge Zusammenhänge, nur mit umgekehrten Vorzeichen.)

Anzahl der Nullstellen

Text unbenannt

Eine Polynomfunktion vom Grad \(n\) kann höchstens \(n\) Nullstellen haben.

Wenn \(n\) eine ungerade Zahl ist (also 3, 5, 7, ...), dann hat die Polynomfunktion mindestens 1 Nullstelle.

Beispiel:

kubische Funktion \((n = 3)\): \(f(x) = a\cdot x^3 + b\cdot x^2 + c\cdot x + d\) schneidet zumindest einmal die \(x\)-Achse.

Anzahl der Extrema

Text unbenannt

Eine Polynomfunktion vom Grad \(n\) kann höchstens \((n-1)\) Extrema haben.

Wenn \(n\) eine gerade Zahl ist (also 2, 4, 6, ...), dann hat die Polynomfunktion mindestens 1 Extrema.

Beispiel:

quadratische Funktion \((n = 2)\): \(f(x) = a\cdot x^2 + b\cdot x + c\) hat

- 1 Tiefpunkt, wenn \(a > 0\)
- 1 Hochpunkt, wenn \(a < 0\)

Anzahl der Wendepunkte

Text unbenannt

Eine Polynomfunktion vom Grad \(n\) kann höchstens \((n-2)\) Wendepunkte haben.

Wenn \(n\) eine ungerade Zahl ist (also 3, 5, 7, ...), dann hat die Polynomfunktion mindestens 1 Wendepunkt.

Beispiel:

kubische Funktion \((n = 3)\): \(f(x) = a\cdot x^3 + b\cdot x^2 + c\cdot x + d\) ändert einmal das Krümmungsverhalten.