Title: 5STA_02_INF_arithmetisches_Mittel

Authors: Eva Schirgi (Author)
Licence: CC BY 4.0

Definition des arithmetischen Mittels

Text unbenannt

Gegeben sind \(n\) Beobachtungen \(\{x_1, x_2, \ldots, x_n \}\).
Das arithmetische Mittel wird berechnet, indem alle Beobachtungen aufsummiert und durch die Anzahl der Beobachtungen dividiert wird.

\(\overline{x} = \frac{x_1+x_2 + \ldots + x_n}{n}\)

\(n\) ... Anzahl der Beobachtungen

alternative Darstellung mit Summenzeichen: \(\overline{x} = \frac{1}{n}\cdot \sum_{i=1}^n x_i\)
\(x_i\) ... \(i\)-te Beobachtung

gewichtetes arithmetisches Mittel

Text unbenannt

Ein gewichtetes arithmetisches Mittel wird berechnet, wenn eine Häufigkeitstabelle gegeben ist.
Dabei wird jede Beobachtung mit der absoluten bzw. relativen Häufigkeit multipliziert.

\(\overline{x} = \frac{1}{n}\cdot \sum_{i=1}^k x_i \cdot H_i \quad \text{bzw.} \quad \overline{x} =\sum_{i=1}^k x_i \cdot f_i \)

\(n\) ... Anzahl der Beobachtungen
\(k\) ... Anzahl der unterschiedlichen Ausprägungen
\(x_i\) ... \(i\)-te Beobachtung
\(H_i\) ... absolute Häufigkeit der \(i\)-ten Beobachtung
\(f_i\) ... relative Häufigkeit der \(i\)-ten Beobachtung

Eigenschaften des arithmetischen Mittels

Text unbenannt

1. Das arithmetische Mittel ist empfindlich gegenüber Ausreißer.
Sehr hohe Werte vergrößern das arithmetisches Mittel, sehr kleine Werte verringern das arithmetische Mittel.
2. Das arithmetische Mittel ist monton.
Das bedeutet, wenn man zwei Datenreihen hat und die Werte der ersten Datenreihe größer als die von der zweiten sind, dass das arithmetische Mittel der ersten Datenreihe größer als  das der zweiten ist:

\(x_i  > y_i \quad \Rightarrow \quad \overline{x} > \overline{y}\)
3. Das arithmetische Mittel ist äquivariant gegenüber linearen Transformationen.

- Wenn zu einer Datenreihe eine Zahl addiert wird, dann erhöht sich das arithmetische Mittel um diese Zahl:
\(y_i = x_i + a \quad \Rightarrow \quad \overline{y} = \overline{x} + a\)
- Wenn jeder Wert einer Datenreihe mit einer Zahl \(b \ne 0\) multipliziert wird, dann wird auch das arithmetische Mittel mit dieser Zahl multipliziert:
\(y_i = x_i \cdot b \quad \Rightarrow \quad \overline{y} = \overline{x} \cdot b\)