Title: 5STA_02_INF_Median

Authors: Eva Schirgi (Author)
Licence: CC BY 4.0

Definition des Medians

Text unbenannt

Der Median entspricht der Mitte einer geordneten Datenreihe.
50 % der Werte sind kleiner (oder gleich) dem Median und 50 % der Werte sind größer (oder gleich) dem Median. Der Median teilt somit die Datenreihe in zwei gleich große Teile.

Die Anzahl der Beobachtungen gibt an, wie der Median bestimmt wird.

- \(n\) ist ungerade
Der Median ist eindeutig und der mittlere Wert der sortierten Datenreihe.
- \(n\) ist ungerade
Der Median ist nicht eindeutig, da in der Mitte zwei Werte liegen.

Median bei ungerade Anzahl an Beobachtungen

Text unbenannt

Gegeben ist die sortierte Datenreihe \(\{x_1, x_2, \ldots, x_n \}\), wobei \(n\) eine ungerade Zahl ist.

Der Median ist der mittlere Wert der sortierten Datenreihe:
\(x_{med} = x_{\frac{n+1}{2}}\)

Beispiel:
Bei der Datenreihe \(\{1, 3, 5, 7, 9\}\) mit \(n = 5\) ergibt sich für den Median folgende Information:
\(\frac{5+1}{2} = 3 \quad \Rightarrow \quad x_{med} = x_{3} = 5\)

Median bei einer geraden Anzahl an Beobachtungen

Text unbenannt

Gegeben ist die sortierte Datenreihe \(\{x_1, x_2, \ldots, x_n \}\), wobei \(n\) eine gerade Zahl ist.

In der Mitte liegen nun zwei Werte: \(x_{\frac{n}{2}}\) und \(x_{\frac{n}{2}+1}\). Damit ist der Median nicht mehr eindeutig bestimmt, da er jeden Wert im Intervall \([x_{\frac{n}{2}}; x_{\frac{n}{2}+1}]\) annehmen kann.

Üblicherweise wird das arithmetischen Mittel aus den beiden mittleren Werten berechnet:

\(x_{med} = \frac{1}{2}\cdot \left(x_{\frac{n}{2}} + x_{\frac{n}{2}+1}\right)\)

Beispiel:
Bei der Datenreihe \(\{1, 3, 5, 7\}\) mit \(n = 4\) ergeben sich für den Median folgende Informationen:
\(\frac{n}{2} = \frac{4}{2} = 2 \quad\text{und}\quad \frac{n}{2} + 1 = \frac{4}{2} + 1 = 3 \quad \Rightarrow \quad x_{med} = \frac{1}{2}\cdot \left(x_2 + x_3\right) = \frac{1}{2}\cdot \left(3 + 5\right) = 4\)

Eigenschaften des Medians

Text unbenannt

1. Der Median ist unempfindlich gegenüber Ausreißer.
2. Der Median ist monton.
Bei zwei Datenreihen, bei der die Werte der ersten Datenreihe größer als die von der zweiten sind, ist der Median der ersten Datenreihe größer als  der Median der zweiten:

\(x_i  > y_i \quad \Rightarrow \quad x_{med} > y_{med}\)
3. Der Median ist äquivariant gegenüber linearen Transformationen.

Wenn zu einer Datenreihe eine Zahl addiert wird, dann erhöht sich der Median um diese Zahl:
\(y_i = x_i + a \quad \Rightarrow \quad y_{med} = x_{med} + a\)

Wenn jeder Wert einer Datenreihe mit einer Zahl \(b \ne 0\) multipliziert wird, dann wird auch das arithmetische Mittel mit dieser Zahl multipliziert:
\(y_i = x_i \cdot b \quad \Rightarrow \quad y_{med} = x_{med} \cdot b\)
4. Der Median ist nicht immer eindeutig.
Bei einer geraden Anzahl an Beobachtungen kann der Median verschiedene Werte annehmen.