Title: 4ANA_INF_01_Spezielle_Punkte

Authors: Eva Schirgi (Author)
Licence: CC BY 4.0

Besondere Punkte bei einer Funktion

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Bei einer Funktion \(f\) kann man verschiedene Punkte bestimmen, und zwar

- Schnittpunkte mit den Achsen
- Hoch- und Tiefpunkte und
- Wendepunkte.

Schnittpunkte mit Achsen

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Der Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse wird Nullstelle genannt.
Berechnungsvorschrift: \(f(x) = 0\)

Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse wird Achsenabschnitt genannt.
Berechnungsvorschrift: \(y = f(0)\)

Hoch- und Tiefpunkte

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Bei Hoch- und Tiefpunkte ändert sich das Monotonieverhalten der Funktion. Wenn man eine Tangente an einem Hoch- oder Tiefpunkt zeichnet, dann ist das eine waagrechte Gerade.

Ein lokaler Hochpunkt (auch lokales Maximum) ist gegeben, wenn gilt: \(f(x_{HP}) \geq f(x)\) für eine Umgebung von \(x_{HP}\).
Das heißt, dass der Funktionswert \(y\) in dieser Umgebung größer als alle anderen ist.

Ein lokaler Tiefpunkt (auch lokales Minimum) ist gegeben, wenn gilt: \(f(x_{TP}) \leq f(x)\) für eine Umgebung von \(x_{TP}\).
Das heißt, dass der Funktionswert \(y\) in dieser Umgebung kleiner als alle anderen ist.

Lokale Extrema kann man mithilfe der Ableitungen berechnen.

Wendepunkte

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Bei Wendepunkten ändert sich das Krümmungsverhalten einer Funktion. Das bedeutet, dass die Funktion von positiv gekrümmt (konvex) zu negativ gekrümmt (konkav) wird.