Title: Eigenschaften einer lineare Funktion

Authors: Eva Schirgi (Author); Yevheniia Andriichenko (Author)
Licence: CC BY 4.0

Lage zweier Geraden

Text unbenannt

Zwei lineare Funktionen können in \(\mathbb{R}^2\)

- identisch sein
- parallel sein oder
- sich schneiden.

Erkennen der Lage anhand der Funktionsvorschrift

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Bei zwei linearen Funktionen erkennt man die Lage anhand der Steigung \(k\) und des Achsenabschnittes \(d\).
Dazu müssen beide Funktionen in Normalform der Funktionsgleichung gebracht werden:

- \(f(x) = k_1\cdot x + d_1\)
- \(g(x) = k_2\cdot x + d_2\)

Wenn die beiden Steigungen und die Achsenabschnitte gleich sind (\(k_1 = k_2\) und \(d_1 = d_2\)), sind die Funktionen identisch.

Wenn die beiden Steigungen gleich und die Achsenabschnitte unterschiedlich sind (\(k_1 = k_2\) und \(d_1 \ne d_2\)), sind die Funktionen prarallel.

Wenn die beiden Steigungen  unterschiedlich sind (\(k_1 \ne k_2\)), dann haben die beiden Funktionen einen Schnittpunkt.

Um Schnittpunkte zu bestimmen, muss man die Funktionen gleichsetzen. Die Schnittpunkte sind nämlich gemeinsame Punkte: \(f(x)=g(x)\)

Vorgehensweise für Berechnung eines Schnittpunktes

Text unbenannt

Vorgehensweise bei der Berechnung des Schnittpunktes

1. Aufstellen der Gleichung  \(f(x)=g(x)\): Die Gleichung ist linear und kann eindeutig gelöst werden, wenn die beiden Funktionen nicht identisch und nicht parallel sind.
2. Lösen der Gleichung: Die Gleichung enthält die Variable \(x\), nach dieser wird die Gleichung gelöst.
3. Berechnung von \(y\): Durch Einsetzen von \(x\) in eine Funktion wird der entsprechende Funktionswert berechnet.
4. Kontrolle des Funktionswertes: Der \(x\)-Wert wird zur Kontrolle in die zweite Funktion eingesetzt, wobei das Ergebnis für \(y\) dasselbe sein muss.

Damit hat man beide Koordinaten des Schnittpunktes.

Beispiel für Schnittpunkt

Text unbenannt

Die beiden linearen Funktionen  \(f(x)=2x+1\) und \(g(x)=−x+4\) sind nicht parallel und nicht identisch.

1. Aufstellen der Gleichung: \(2x+1=−x+4\)
2. Lösen der Gleichung nach \(x\): \(​x=1\)
3. Berechnung von \(y\): \(f(1)=2⋅1+1=3\)
4. Kontrolle des Funktionswertes: \(g(1)=−1+4=3\)

Die beiden Geraden schneiden sich beim Punkt \(S(1∣3)\).