Title: 4ANA_02_INF_DE_Definition_quadratisch

Authors: Eva Schirgi (Author); Yevheniia Andriichenko (Author)
Licence: CC BY 4.0

Quadratische Funktionen im Überblick

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Die allgemeine Form der Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion ist: \(f(x)=a\cdot x^2+b\cdot x+c\) mit \(a\neq0\).

- \(a\cdot x^2\): das quadratische Glied
- \(b\cdot x\): das lineare Glied
- \(c\): das absolute Glied

Die quadratische Funktion ist eine Polymnomfunktion vom Grad 2. Der Koeffizient \(a\) darf nicht 0 sein, da ansonsten das quadratische Glied in der Funktionsvorschrift nicht mehr vorkommt und keine quadratische Funktion mehr vorliegt.

Eigenschaften der quadratischen Funktion ´

Text unbenannt

Die quadratische Funktion \(f(x)=a\cdot x^2+b\cdot x+c\) mit \(a\neq0\) hat folgende Eigenschaften

Nullstellen: Die Funktion kann die \(x\)-Achse schneiden, berühren oder auch nicht. Daraus ergibt sich die Anzahl an Nullstellen:

- 2 Nullstellen: Der Graph schneidet die \(x\)-Achse.
- 1 Nullstelle: Der Graph berührt die \(x\)-Achse (mit dem Extremum).
- keine Nullstellen: Die Parabel liegt über der \(x\)-Achse (\(a >0\) oder unter der \(x\)-Achse (\(a <0\).

Extrema: Es gibt ein Extremum, abhängig vom Koeffizienten \(a\):

- \(a>0\): Tiefpunkt
- \(a<0\): Hochpunkt

Steigung: Die Steigung der Funktion ändert sich im Extremum.

Krümmung: Die Funktion hat über den gesamten Definitionsbereich dieselbe Krümmung:

- \(a>0\): Tiefpunkt
- \(a<0\): Hochpunkt

Graph einer quadratischen Funktion

Text unbenannt

Der Graph einer quadratischen Funktion ist immer eine Parabel.

Die Normalparabel ist der Graph der quadratischen Funktion \(f(x)=x^2\).
Der Scheitelpunkt der Normalparabel ist ein Tiefpunkt und liegt im Ursprung \((0|0)\). Der Scheitelpunkt ist der Punkt, an dem die Parabel ihre Richtung und ihre Steigung ändert.

Die Koeffizienten \(a, b\) und \(c\) einer allgemeinen quadratischen Funktion \(f(x)=a\cdot x^2+b\cdot x+c\) mit \(a\neq0\) beeinflussen den Verlauf und das Aussehen der Parabel. Sie kann im Vergleich zur Normalparabel gestreckt, gestaucht, verschoben und an der \(y\)-Achse gespiegelt sein.

- Koeffizient \(a\): Streckung (breiterer Verlauf) oder Stauchung (schmalerer Verlauf)
- Koeffizient \(c\): Verschiebung des Scheitelpunktes in Richtung der \(y\)-Achse (nach unten oder oben)
- Koeffizient \(b\): Verschiebung des Scheitelpunkts in Richtung der \(x\)-Achse (nach rechts oder links)

Jede Parabel besitzt eine Symmetrieachse, die parallel zur \(y\)-Achse verläuft und die Parabel in ihrem Scheitelpunkt schneidet. Bei der Normalparabel ist die \(y\)-Achse selbst die Symmetrieachse dar.