Title: 4ANA_02_INF_DE_quadratisch_Extrema

Authors: Eva Schirgi (Author)
Licence: CC BY 4.0

Extrema einer quadratischen Funktion

Text unbenannt

Eine quadratische Funktion \(f(x) = a\cdot x^2 + b\cdot x + c\) hat immer ein globales Extremum.
Wenn \(a > 0\) ist, hat die Funktion einen Tiefpunkt.
Wenn \(a < 0\) ist, hat die Funktion einen Hochpunkt.

Der Graph der Funktion ist eine Parabel und daher wird das Extremum auch Scheitelpunkt genannt.

Bestimmung des Scheitelpunktes

Text unbenannt

Der Scheitelpunkt einer Parabel kann ohne Differentialrechnung bestimmt werden.

- mithilfe der Scheitelform
- mithilfe der Koeffizienten der allgemeinen Funktionsgleichung
- mithilfe der Nullstellen

Scheitelpunkt aus Scheitelform

Text unbenannt

Wenn die Funktion in Scheitelform \(f(x) = a\cdot(x-d\)^2 + e\) gegeben ist, dann kann der Scheitel direkt abgelesen werden: \(S(d|e)\)

Beispiel

Die quadratische Funktion \(f(x) = - x^2 + 6x -10\) hat die Scheitelform \(f(x) = -1\cdot(x-3)^2 - 1\).
Damit ergibt sich für die Koordinaten des Scheitelpunktes: \(d = 3\) und \(e = -1\)
\(S(3|-1)\)

Scheitelpunkt aus allgemeiner Funktionsgleichung

Text unbenannt

Wenn die Funktion in der allgemeinen Form \(f(x) = a\cdotx^2 + b\cdot x + c\) gegeben ist, dann ergibt sich der Scheitel aus den Koeffizienten \(a, b, c\):
\(S(-\frac{b}{2a}|c-\frac{b^2}{4a})\)

Beispiel

Für die quadratische Funktion \(f(x) = - x^2 + 6x -10\) ergeben sich für die Koordinaten des Scheitelpunktes: \(-\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2\cdot (-1)} = -(-3) = 3\) und \(c-\frac{b^2}{4a} = -10-\frac{6^2}{4\cdot (-1)} = -10+\frac{36}{4} = \frac{-40+36}{4} =   -1 \)
\(S(3|-1)\)

Scheitelpunkt aus den Nullstellen

Text unbenannt

Wenn die Funktion zwei Nullstellen (x_1 und x_2\) hat, dann liegt der Scheitelpunkt in der Mitte der beiden Nullstellen, da die Parabel achsensymmetrisch ist.

\(x_S = x_2 + \frac{x_1-x_2}{2}\) und \(y_S = f(x_S)\)

Wenn die Funktion eine Nullstelle (x_N) hat, dann liegt der Scheitel der Parabel auf der Nullstelle.

\(x_S = x_N\) und \(y_S = f(x_S)\)

Beispiel

Die Funktion \(f(x) = x^2+2x-8\) hat zwei Nullstellen, und zwar bei \(x_1 = 2\) und bei \(x_2 = -4\). Die \(x\)-Koordinate des Scheitelpunktes berechnet sich dann folgendermaßen:  \(x_S = -4 + \frac{1-(-4)}{2} = -1\) und \(y_S = f(-1) = -8\)