Title: 4ANA_02_INF_linear_Funktionsgleichung

Aufstellen einer linearen Funktionsgleichung

Text unbenannt

Es sind zwei Informationen notwendig:

- Achsenabschnitt und Steigung
- 2 Punkte, die auf Gerade liegen
- Steigung und Punkt
- Achsenabschnitt und Punkt

Mithilfe der Informationen können lineare Gleichungen gebildet werden, in denen die Unbekannten \(k\) und \(d\) sind.
Durch das Lösen der linearen Gleichungen kommt man zu den Werten für diese Parameter und kann die Funktionsgleichung aufstellen.

Funktionsgleichung über Steigung und Achsenabschnitt

Text unbenannt

Wenn sowohl die Steigung \(k\) als auch der Achsenabschnitt gegeben sind, ist es einfach, die Funktionsgleichung aufzustellen.
Man braucht nur die Werte für Steigung und Achsenabschnitt für \(k\) und \(d\) einsetzen.

Beispiel

Für ein Mietauto-Sharing liegen die monatlichen Gebühren bei 7 €. Wenn man ein Auto bucht, zahlt man pro begonnene Stunde 4 €.

\(d = 7\) und \(k = 4\)

Funktionsgleichung: \(f(x) = 4\cdot x + 7\)

Funktionsgleichung aus zwei Punkten

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Gegeben sind zwei Punkte, die auf der Geraden liegen: \(A(x_1|y_1)\) und  \(B(x_2|y_2)\)

Beide Punkte werden in die allgemeine Funktionsgleichung \(f(x) = k\cdot x + d\) eingesetzt, so erhält man ein lineares Gleichungssystem:

\(I: y_1 = k\cdot x_1 + d\)
\(II: y_2 = k\cdot x_3 + d\)

Durch Substrahieren der beiden Gleichungen kommt man zur Gleichung: \(I-II: y_1 + y_2 = k\cdot (x_1-x_2)\).
Damit kann die Gleichung nach \(k\) gelöst werden und \(d\) erhält man durch Einsetzen.

Beispiel

\(A(1|3)\) und  \(B(-2|0)\)

\(I: 3 = k\cdot 1 + d\)
\(II: 0 = k\cdot (-2) + d\)

\(I-II: 3 = k\cdot 3 \quad \Rightarrow \quad k =  1\)
\(I: 3 = 1\cdot 1 + d \quad \Rightarrow \quad d =  2\quad \) (Einsetzen von \(k\) in \(I\))

Funktionsgleichung: \(f(x) = x + 2\)

Funktionsgleichung aus Steigung und Punkt

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Gegeben ist ein Punkt \(A(x_1|y_1)\) und die Steigung \(k\).

Sowohl die Steigung als auch der Punkt können in die allgemeine Funktionsgleichung \(f(x) = k\cdot x + d\) eingesetzt werden; so kommt man zu einer linearen Gleichung, die nur mehr den unbekannten Parameter \(d\) enthält.

Beispiel

Eine Gerade schneidet die \(x\)-Achse bei der Stelle -1. Zusätzlich weiß man, dass die Steigung -2 beträgt.

Informationen: Punkt \(A(-1|0)\) und \(k = -2\)

Einsetzen in die allgemeine Funktionsgleichung: \(0 = -2\cdot (-1) + d \quad \Rightarrow \quad d = -2\)

Funktionsgleichung: \(f(x) = -2\cdot x -2\)

Funktionsgleichung mit Achsenabschnitt und Punkt

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Gegeben ist ein Punkt \(A(x_1|y_1)\) und der Achsenabschnitt \(d\).

Sowohl der Achsenabschnitt als auch der Punkt können in die allgemeine Funktionsgleichung \(f(x) = k\cdot x + d\) eingesetzt werden, so kommt man zu einer linearen Gleichung, die nur mehr den unbekannten Parameter \(k\) enthält.

Beispiel

Eine Gerade schneidet die \(y\)-Achse bei 2. Zusätzlich kennt man einen Punkt auf der Geraden: \(A(-1 |-2)\)

Informationen: Punkt \(A(-1 |-2)\) und \(d= 2\)

Einsetzen in die allgemeine Funktionsgleichung: \(-2 = k\cdot (-1) + 2 \quad \Rightarrow \quad k = 4\)

Funktionsgleichung: \(f(x) = 4\cdot x + 2\)