Title: Determinandid. Kolmerealine detrminant 1

Ilma pealkirjata Text

Credits: licence CC BY-SA 4.0

Kolmerealine determinant

Vaatleme kolmerealist lineaarvõrrandi süsteemi  $$\begin{cases}a_1x+b_1y+c_1z=d_1\\a_2x+b_2y+c_2z=d_2\\a_3x+b_3y+c_3z=d_3\end{cases}$$,

kus $$a_1,a_2,a_3,b_1,b_2,b_3, c_1,c_2, c_3$$ on arvud ja $$x, y, z$$ on tundmatud.

Selle süsteemi maatriksile $$A=\left(\begin{matrix} a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3} \end{matrix} \right) $$  vastab kolmerealine determinant $$D=detA=\Delta= \left|\begin{matrix} a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3} \end{matrix} \right| $$.

Kolmerealise determinandi arvutamiseks tuleb leida kuus selle elementidest moodustatud korrutist ja need liita. Igas korrutises on kolm elementi ning kolm korrutist võetakse " + " märgiga ja kolm korrutist " - " märgiga.

Sellist eeskirja kolmerealise determinandi arvutamiseks nimetatakse Sarruse reegliks.

Sarruse reegli järgi saame, et

$$ \left|\begin{matrix} a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3} \end{matrix} \right| =\color{green}{a_1b_2c_3+b_1c_2a_3+c_1a_2b_3}\color{blue}{-c_1b_2a_3-a_1c_2b_3-b_1a_2c_3}$$.

Seda reeglit saab esitada erinevate skeemidega. Üks neist on järgmine:

Credits: by Marina Latõnina (Author); licence CC BY 4.0

Ilma pealkirjata Text

See sama skeem on esitatud järgmises animatsioonis. Edaspidi vaatleme veel ühte skeemi, mida samuti kasutatakse kolmerealiste detreminantide arvutamiseks.

Ilma pealkirjata Text

Näide

$$\left|\begin{matrix} 1 & \quad3 &-4\\ 3 & -2&\quad5\\0&\quad6&\quad4 \end{matrix} \right| =\color{green}{1\cdot(-2)\cdot4​+3\cdot5\cdot0+3\cdot6\cdot(-4)}\color{blue}{-(-4)\cdot(-2)\cdot0-3\cdot3\cdot4-5\cdot6\cdot1}=-146$$.

Ilma pealkirjata Question Set

$$\color{green}{\text{Ülesanne 1}}$$Leia determinandi $$\left|\begin{matrix} \quad2 & -4 & 5\\ \quad1 & 3&-2\\-1&-3& 4 \end{matrix} \right| $$ väärtus. Kirjuta lahtritesse õiged arvud ja arvuta.

$$\color{green}{\text{Ülesanne 1}}$$

Leia determinandi  $$\left|\begin{matrix} \quad2 & -4 & 5\\ \quad1 &  3&-2\\-1&-3& 4 \end{matrix} \right| $$  väärtus. Kirjuta lahtritesse õiged arvud ja arvuta.

Q: $$\left|\begin{matrix}\quad 2 & -4 &\quad5\\ \quad1 & \quad3&-2\\-1&-3& 4 \end{matrix} \right|  = 2\cdot 3 \cdot $$ [...]$$+(-4)\cdot (-2)\cdot $$ [...] $$+1\cdot (-3)\cdot $$ [...] $$-5\cdot 3\cdot $$ [...] $$-(-4)\cdot 1\cdot $$ [...] $$-(-2)\cdot(-3)\cdot$$ [...] $$= 24+$$ [...] $$+$$ [...] $$-(-15)-$$ [...] $$-$$ [...] $$=$$ [...].
A: 4; -1/(-1); 5; -1/(-1); 4; 2; -8/(-8); -15/(-15); -16/(-16); 12; 20

$$\color{green}{\text{Ülesanne 2}}$$Leia determinandi $$\left|\begin{matrix} \quad3 & \quad0 &-8\\ 5 & -2&\quad4\\-1&\quad6&\quad3 \end{matrix} \right|$$ väärtus.

$$\color{green}{\text{Ülesanne 2}}$$

Leia determinandi $$\left|\begin{matrix} \quad3 & \quad0 &-8\\ 5 & -2&\quad4\\-1&\quad6&\quad3 \end{matrix} \right|$$ väärtus.

Q: $$\left|\begin{matrix} \quad3 & \quad0 &-8\\ \quad5 & -2&\quad4\\-1&\quad6&\quad3 \end{matrix} \right|=3\cdot$$[...]$$ \cdot$$[...] $$+$$[...] $$\cdot4\cdot$$[...]$$+5\cdot$$[...]$$\cdot$$[...] $$-$$[...]$$\cdot$$[...]$$\cdot(-1)-$$[...]$$\cdot5\cdot$$[...]$$-4\cdot$$[...]$$\cdot$$[...]$$=$$[...]$$+$$[...]$$+$$[...]$$-$$[...]$$-$$[...]$$-$$[...]$$=$$ [...]
A: -2/3/(-2); -2/3/(-2); 0/-1/(-1); 0/-1/(-1); 6/-8/(-8); -8/6/(-8); -8/-2/(-8)/(-2); -2/-8/(-8)/(-2); 0/3; 3/0; 6/3; 3/6; -18; 0; -240/(-240); -16/(-16); 0; 72; -314
  Hint: Järjekord pole oluline.
  Hint: Järjekord pole oluline.
  Hint: Järjekord pole oluline.

$$\color{green}{\text{Ülesanne 3}}$$ Lohista vastused vastavatele determinantidele.

- -95
- 80
- -16
- 78
- -45
Q: miinus95
A: -95
Q: kaheksakümmend
A: 80
Q: miinus16
A: -16
Credits: by Marina Latõnina; licence CC BY 4.0