Title: Lineaarvõrrandisüsteemide lahendamine determinantide abil 1

Ilma pealkirjata Text

Credits: licence CC BY-SA 4.0

Lineaarvõrrandisüsteemide lahendamine (Crameri valemid)

Olgu antud kahe muutujaga lineaarvõrrandisüsteem

                                                               $$\begin{cases}a_{1}x+b_{1}y=c_{1}\\a_{2}x+b_{2}y=c_{2}\end{cases}$$,

kus $$a_{1},b_{1},a_{2},b_{2},c_{1},c_{2}$$ on reaalarvud; $$x$$ ja $$y$$ on tundmatud.

Seda süsteemi saab lahendada determinantide abil.

Eelnevalt tuleb koostada ja arvutada süsteemi determinant ja igale muutujale vastav determinant.

Süsteemi determinant (sageli tähistatakse tähega $$D$$) koosneb ainult kordajatest:

                                                                                 $$D=\left|\begin{matrix} a_{1} & b_{1} \\ a_{2} & b_{2} \end{matrix} \right| ​$$.

Süsteemis on kaks muutujat, igale neist koostame vastava determinandi.

Muutujale x vastavas determinandis (tähistame $$D_x$$) tuleb $$x$$-le vastav 1. veerg asendada vabaliikmete veeruga, aga $$y$$-le vastav 2. veerg jääb muutumatuks:

                                                                           $$D_x=\left|\begin{matrix} c_{1} & b_{1} \\ c_{2} & b_{2} \end{matrix} \right| ​$$.

Muutujale y vastavas determinandis (tähistame $$D_y$$) tuleb $$y$$-le vastav 2. veerg asendada vabaliikmete veeruga, kusjuures  $$x$$-le vastav 1. veerg on muutumatu:

$$D_y=\left|\begin{matrix} a_{1} & c_{1} \\ a_{2} & c_{2} \end{matrix} \right| ​$$.

Ilma pealkirjata Text

Näide

Ilma pealkirjata Text

Leiame tundmatute väärtused:

Ilma pealkirjata Text

Neid valemeid nimetatakse Crameri valemiteks.

Kontrolli lahendit.

Paneme tähele, et süsteemil on ühene lahend vaid siis, kui süsteemi determinant $$D$$ ei ole võrdne nulliga!

Näite jätk

Kasutades Crameri valemeid, leia tundmatute väärtused.

Millised väited on tõesed?

Q: Millised väited on tõesed?
- Cramer´i valemiga saab leida $$x=\dfrac{D_x}{D}$$ (correct)
- Cramer´i valemiga saab leida $$y=\dfrac{D_y}{D}$$ (correct)
- Cramer´i valemiga saab leida $$y=\dfrac{D}{D_y}$$
- Cramer´i valemiga saab leida $$x=\dfrac{D_x}{D_y}$$
- Cramer´i valemiga saab leida $$y=\dfrac{D_y}{D_x}$$

Milline süsteemi $$\begin{cases}\dfrac{x}{4}+\dfrac{y}{4}=2\\\dfrac{x}{6}+\dfrac{y}{3}=2\end{cases}$$ determinantidest vastab muutujale $$x$$?

Q: Milline süsteemi $$\begin{cases}\dfrac{x}{4}+\dfrac{y}{4}=2\\\dfrac{x}{6}+\dfrac{y}{3}=2\end{cases}$$ determinantidest vastab muutujale $$x$$?
- $$D_x=\left|\begin{matrix} \dfrac{1}{4} & \dfrac{1}{4} \\ \dfrac{1}{6} & \dfrac{1}{3} \end{matrix} \right| $$
- $$D_x=\left|\begin{matrix}2 & \dfrac{1}{4} \\ 2& \dfrac{1}{3} \end{matrix} \right| $$ (correct)
- $$D_x=\left|\begin{matrix} \dfrac{1}{4} & 2\\ \dfrac{1}{6} & 2 \end{matrix} \right| $$

Leia süsteemi $$\begin{cases}-3(3x-y)+10x+4y=-41\\5(2x-4y)-8x+25y=-28\end{cases}$$ muutujale $$y$$ vastava determinandi väärtus

Q: Leia süsteemi $$\begin{cases}-3(3x-y)+10x+4y=-41\\5(2x-4y)-8x+25y=-28\end{cases}$$ muutujale $$y$$ vastava determinandi väärtus
- $$D_y=54$$ (correct)
- $$D_y=-9$$
- $$D_y=2$$
- $$D_y=9$$