Title: Probleemülesanne

1. Sissejuhatus

Kas Sa oled kunagi mõelnud sellest, mis on probleem ja miks mõni inimene oskab probleeme lahendada, aga mõned ei oska?

Olukorra kirjeldus

tekst

Kalamees Jüri istub paadis, mis seisab ankrus 18 meetri kaugusel järve sirgjoonelisest kaldast (vt joonist). Jüri koer nimega Välk jookseb mööda järve kallast ja märkab peremeest paadis, mis asub temast 30 meetri kaugusel. Välk teeb otsuse, et tal vaja võimalikult kiiresti jõuda peremehe paadi juurde. Milline on vähim aeg, millega Välk peremehe paadini jõuab, kui Välgu kiirus mööda järve kallast on 8 m/s, aga järves ujudes 2 m/s?

1. küsimus

Q: Mis on otsitav?
- Vähim teepikkus
- Pikim teepikkus
- Vähim aeg
- Suurim aeg

1.1., 1.2, 1.4 Tagasiside

Loe olukorra kirjeldust uuesti. Kujuta ette, et sul vaja selle sisu kellegile selgitada. Veendu, et said aru, mida sinult oodatakse probleemi lahendamisel.

2. Küsimus

Q: Mis määrab aja, mis Välgul kulub paati jõudmiseks?
- Välgu poolt valitud trajektoor, aga keskkond (vesi või maapind) ei ole oluline
- Ainult keskkond (vesi või maapind) mõjutab aega
- Välgu poolt valitud trajektoor ja liikumise keskkond (vesi või maapind)

2.1. Tagasiside

Pane tähele, et koera kiirus vees ujudes on palju aeglasem kui maismaal joostes, seega liikumise keskkonnast oleneb ka peremeheni jõudmiseks kuluv aeg.

2.2. Tagasiside

Pane tähele, et üldiselt on punktist A punkti B võimalik jõuda erinevaid trajektoore kasutades.

3. Küsimus

Q: Mitme trajektoori vahel saab Välk valida?
- On ainult üks võimalik trajektoor.
- On ainult kaks võimalikku trajektoori. Nendest ta valib.
- On lõpmatu arv trajektoore, mille hulgast ta valib sobiva.

3.1., 3.2. Tagasiside

Kas koerad jooksevad ainult sirgjooneliselt?

4. Küsimus

Q: Millise trajektoori puhul on liikumise aeg vähim?
- A
- B
- C
- D

Ilma pealkirjata Course Presentation

Ilma pealkirjata Text

Millise trajektoori puhul on liikumise aeg vähim? Vastus esita järgmisel slaidil.

4.1. Küsimus

Q: Kas said vastuseks 15 sekundit?
- Jah
- Ei

Ilma pealkirjata Text

Arvuta aeg, millega ta jõuab peremeheni kasutades trajektoori A.

Ilma pealkirjata Text

Nüüd arvuta aeg, millega Välk jõuab peremeheni trajektoori B kasutades.

Ilma pealkirjata Text

Aja arvutamiseks on vaja teepikkus jagada kiirusega.

Ilma pealkirjata Text

Arvuta aeg, millega ta jõuab peremeheni kasutades trajektoori B.

4.2. Küsimus

Q: Kas said vastuseks 12 sekundit?
- Jah
- Ei

Ilma pealkirjata Text

Arvuta aeg, millega ta jõuab peremeheni, kui ta jookseb mööda randa vaid 15 m nagu näiteks joonisel D. Mõtle, kas on veel paremaid trajektoore?

Ilma pealkirjata Text

Aja arvutamiseks on vaja teepikkus jagada kiirusega.

4.3. Tagasiside

Pane tähele, et trajektoor C on tunduvalt pikem trajektoorist A, aga keskkond on peamiselt sama (vesi). Järelikult trajektoori C puhul kulub Välgul tunduvalt rohkem aega.

Ilma pealkirjata Course Presentation

Ilma pealkirjata Text

Koosta mudeli (st avaldise), mille abil saad arvutada vähima Välgu liikumise aja.

Mudeli koostamisel kasuta joonisel kasutatud tähistusi (A, B, C, D).

5. Küsimus

Q: Milline mudel vastab Välgu liikumise vähimale ajale?
- Aeg = AD/8+DB/2
- Aeg = 8AD+2DB
- Aeg = 8/AD+2/DB

Ilma pealkirjata Text

Vaatleme lihtsamat olukorda. Kuidas leida aeg, mis kulub autol 120 km läbimiseks kiirusega 60 km/h? Tee arvutused paberil.

7. Küsimus

Q: Toome mudelisse matemaatikutele eriti meeldiva muutuja \(x\).

Avalda suurused AD ja DB muutuja \(x\) kaudu. Mida soovid \(x\)-ga tähistada?
- AD
- DC
- DB

7.1. Küsimus

Q: Valisid  \(AD = x\). Nüüd proovi koostada avaldise kogu liikumise aja \(y\) arvutamiseks.
- \(y=\frac{x}{8}+\frac{\sqrt{(24-x)^2+18^2}}{2}\)
- \(y=\frac{24-x}{8}+\frac{\sqrt{x^2+18^2}}{2}\)
- \(y=\frac{(24-\sqrt{x^2-18^2})}{8}+\frac{x}{2}\)

7.1.2, 7.1.3. Tagasiside

Vaata üle, kas \(x\)-ga tähistasid AD või midagi muud?

8.1. Küsimus

Q: Nüüd on vaja leida koostatud funktsiooni miinimum (st vähim aeg). Kuidas seda teed?
- Leian funktsiooni tuletise paberil ning leian selle nullkoha.
- Leian funktsiooni tuletise ning arvutan selle nullkoha arvuti abil.
- Joonestan funktsiooni graafiku ning leian funktisooni miinimumi ligikaudse väärtuse sellelt.

9.1. Küsimus

Q: Millega võrdub teie funktsiooni tuletise nullkoht?
- \(x=24-6\cdot\sqrt{\frac{3}{5}}\)
- \(x=19,3 \)
- \(x\approx19,35\)

Ilma pealkirjata Text

Kas sa oled kindsel, et saad kasutada võrdusmärki?

7.2. Küsimus

Q: Valisid  \(DC = x\). Nüüd proovi koostada avaldise kogu liikumise aja \(y\) arvutamiseks.
- \(y=\frac{x}{8}+\frac{\sqrt{(24-x)^2+18^2}}{2}\)
- \(y=\frac{24-x}{8}+\frac{\sqrt{x^2+18^2}}{2}\)
- \(y=\frac{(24-\sqrt{x^2-18^2})}{8}+\frac{x}{2}\)

7.2.1, 7.2.3. Tagasiside

Vaata üle, kas \(x\)-ga tähistasid DC või midagi muud?

8.2. Küsimus

Q: Nüüd on vaja leida koostatud funktsiooni miinimum (st vähim aeg). Kuidas seda teed?
- Leian funktsiooni tuletise paberil ning leian selle nullkoha.
- Leian funktsiooni tuletise ning arvutan selle nullkoha arvuti abil.
- Joonestan funktsiooni graafiku ning leian funktisooni miinimumi ligikaudse väärtuse sellelt.

9.2. Küsimus

Q: Millega võrdub teie funktsiooni tuletise nullkoht?
- \(x=6\cdot\sqrt{\frac{3}{5}}\)
- \(x=4,65 \)
- \(x\approx4,65\)

Ilma pealkirjata Text

Kas sa oled kindsel, et saad kasutada võrdusmärki?

7.3. Küsimus

Q: Valisid  \(DB = x\). Nüüd proovi koostada avaldise kogu liikumise aja \(y\) arvutamiseks.
- \(y=\frac{x}{8}+\frac{\sqrt{(24-x)^2+18^2}}{2}\)
- \(y=\frac{24-x}{8}+\frac{\sqrt{x^2+18^2}}{2}\)
- \(y=\frac{(24-\sqrt{x^2-18^2})}{8}+\frac{x}{2}\)

7.2.1, 7.2.3. Tagasiside

Vaata üle, kas \(x\)-ga tähistasid DB või midagi muud?

8.3. Küsimus

Q: Nüüd on vaja leida koostatud funktsiooni miinimum (st vähim aeg). Kuidas seda teed?
- Leian funktsiooni tuletise paberil ning leian selle nullkoha.
- Leian funktsiooni tuletise ning arvutan selle nullkoha arvuti abil.
- Joonestan funktsiooni graafiku ning leian funktisooni miinimumi ligikaudse väärtuse sellelt.

9.3. Küsimus

Q: Millega võrdub teie funktsiooni tuletise nullkoht?
- \(x=24\cdot\sqrt{\frac{3}{5}}\)
- \(x=18,59 \)
- \(x\approx18,59\)

Ilma pealkirjata Text

Kas sa oled kindsel, et saad kasutada võrdusmärki?

10. Küsimus

Q: Kuidas saad olla kindel selles, et leitud \(x\) puhul on leitud aeg minimaalne?
- Leian teise tuletise ning arvutan selle väärtuse leitud \(x\) puhul ja selgitan välja, kas teise tuletise väärtus on positiivne.
- Arvutan tuletise väärtused leitud \(x\) ümbruses ning selgitan välja, kas kahanemine muutub kasvamiseks (liikudes üle leitud \(x\) väärtuse).
- Uurin funktsiooni graafikut ning selle kaudu selgitan välja, kas leitud \(x\) puhul on tegemist funktsiooni miinimumiga.

11. Küsimus

Q: Kas said Välgu vähimaks ajaks ligikaudselt 11,7 sekundit?
- Jah
- Ei

10.2. Tagasiside

Arvuta funktisooni väärtus leitud \(x\) puhul või uuri graafikut veel kord.

12. Küsimus

Q: Kas soovid lahendada veel ühte probleemülesannet iseseisvalt?
- Jah
- Ei

2. Sissejuhatus

Probleem on väljakutset pakkuv olukord, mis peab olema lahendatud, aga sammud, mis peavad olema selleks tehtud, ei ole otseselt teada. Seega probleemiks võib nimetada ülesannet, mida Sa pole veel lahendanud ning sul puudub otseselt nn algoritm või valem, mida selle lahendamisel kasutada.

0. Sissejuhatav küsimus

Q: Kuidas Sa hindad oma oskust lahendada probleeme, millega sa pole veel kunagi kokku puutunud?
- Pingutan kõvasti, et probleem saaks lahendatud, katsetan erinevaid viise ning strateegiaid.
- Üldiselt, kui ma ei saa aru, kuidas probleemi lahendada, siis jätan selle lahendamata.
- Minu pingutus sõltub sellest, kui oluline on minu jaoks lahendada see probleem.

3. Sissejuhatus

Me ei sünni oskusega lahendada probleeme. Vastav oskus on arendatav, aga sellele tuleb teadlikult läheneda.

Oskus lahendada probleeme areneb siis, kui me puutume kokku olukordadega, milles me pole veel olnud või ülesannetega, millega pole varem tegelenud. Oluline on sellistes situatsioonides katsetada, pingutada, mitte karta eksida ning otsida erinevaid viise probleemi lahendamiseks.

4. Sissejuhatus

Probleemide lahendamise oskuse arendamine ei lõppe kunagi. Sest iga subjektiivselt uus olukord toob ka uued väljakutsed.

Aga üldiselt saab olla valmis nö uueks väljakutseks, kui sul on vastava eriala teadmised/oskused ning lisaks nö erinevad tegutsemise strateegiad/teadmised (neid nimetatakse veel metakognitiivseteks teadmisteks), mis üldiselt aitavad probleeme laheneda.

Antud interaktiivse ülesande eesmärk on aidata Sind mõne strateegia rakendamisel teatud probleemi lahendamisel.

5. Sissejuhatus

Sul läheb vaja paberit ja pliiatsit või pastakat. Pane need kohe kõrvale, et olulised mõtted, skeemid ja lahendused kirja panna (näiteks olukorra kirjeldus vms).

Antud õppematerjalile kulub Sul orienteeruvalt 30-45 min.

1. Sissejuhatuse esitlus

0. Millised sammud tehtud?

Q: Millised sammud on Sul juba tehtud?
- Sain aru, et materjali läbimise eesmärk on aidata mind rakendada mõnda strateegiat probleemi lahendamiseks. (correct)
- Tean, et teatud asjad tuleb enda jaoks ja enda sõnadega/skeemina kindlasti kirja panna. (correct)
- Paber ja pliiats on kõrval. (correct)
- Olen materjali uurimiseks valmis (correct)

2. Sissejuhatuse esitlus

2. Sissejuhatuse küsimus

Q: Enne probleemiga tutvumist (järgmisel slaidil) otsusta, millist strateegiat(id) kindlasti soovid kasutada. Vali kõik sobivad variandid.
- Loen probleemi rohkem kui korra (correct)
- Veendun, et sain aru, mida minult oodatatkase probleemi lahendamisel (correct)
- Üritan sõnastada probleemi oma sõnadega (correct)
- Püüan meenutada, kas olin varem sellise probleemiga tegelenud. (correct)
- Teen selgeks probleemis esitatud info (correct)
- Mõtlen erinevatele võimalustele, mida võiksin proovida, et lahendada ülesandes esitatud probleem (correct)

6. Sissejuhatus

Nüüd järgneb situatsiooni kirjeldus. Pane olulised momendid kirja, hiljem tulevad juba küsimused/vihjed, mis suunavad Sind probleemi lahendamisel. Loe vihjeid ja mõtle kaasa, ära lahenda üksinda. Edu!

00. Viimane küsimus

Q: Kuidas Sa hindad oma oskust lahendada probleeme, millega sa pole veel kunagi kokku puutunud?
- Pingutan kõvasti, et probleem saaks lahendatud, katsetan erinevaid viise ning strateegiaid.
- Üldiselt, kui ma ei saa aru, kuidas probleemi lahendada, siis jätan selle lahendamata.
- Minu pingutus sõltub sellest, kui oluline on minu jaoks lahendada see probleem.

Link küsitlusele

Palun täida ka küsimustik: https://forms.gle/Y1H59y6L98bzQVTG6

Tänud Sulle!

Viimased sõnad!

Oled suure töö ära teinud, nüüd jäävad veel mõned küsimused sulle!

2. Probleem

2. Probleemi kirjeldus

Ettevõttel on vaja vedada torud punktist A punkti B. Selleks tuleb kasutada maksimaalselt kahte toru juppi. Milline on vähim maksumus, millega torud saavad veetud, kui 1 m paigaldus maapinnal maksab 30 eurot, aga 1 m paigaldus vees maksab 50 eurot. Lisaks on teada, et AC = 250 m ning BC = 30 m.

Ilma pealkirjata Text

Lahenda probleem iseseisvalt. Järgmisel slaidil saad kontrollida vastust.

Eelviimane küsimus

Q: Mis vastuse said?
- 227,5
- 37,5
- 8700
- Muu

Õige vastus teisele probleemile

Super! Liigu edasi!

2. probleemi tagasiside 4

Õige vastus on 8700 eurot.

Maksumuse arvutamiseks võime koostada järgmise funktsiooni:

\(C=30\cdot x+50\cdot \sqrt{30^{2}+(250-x)^{2}} \),

kus \(x\)   on maapinna osale vastava toru jupi pikkus. See on üks võimalus funktsiooni koostamiseks, aga on ka teisi.