Title: Ringjoone võrrand kolme punkti järgi

Ülesanne

Q: Leiame ringjoone võrrandi, kui see läbib punkte $$A(-1; 1)$$, $$B(1; 3)$$ ja $$C(5; -1)$$.

Lahendus

Ringjoone võrrandit otsime kujul $$\left(x-a\right)^{2}+ \left (y-b\right)^{2} = r^{2}$$. Kuna antud punktid asuvad ringjoonel, siis peavad punktide koordinaadid rahuldama ringjoone võrrandit. Seega saame koostada järgneva süsteemi:

$$\left\{
\begin{array}{l}
  (A)= r^{2}\\
(B)= r^{2}\\
(C)= r^{2}\\
\end{array}
\right.$$,

kus $$(A)$$ asemel on avaldis $$($$[...] $$-a)^{2}+($$[...] $$-b)^{2}$$, $$(B)$$ asemel on avaldis $$($$[...] $$-a)^{2}+($$[...] $$-b)^{2}$$ ning $$(C)$$ asemel on avaldis $$($$[...] $$-a)^{2}+($$[...] $$-b)^{2}$$.

Järgmisena avame kõik sulud ning koondame sarnased liikmed, saame süsteemi (NB! $$(-a-b)^{2}=(a+b)^{2}$$):

$$\left\{
\begin{array}{l}
  (A)= r^{2}\\
(B)= r^{2}\\
(C)= r^{2}\\
\end{array}
\right.$$,

kus $$(A)$$ asemel on avaldis $$a^{2} + b^{2}+$$[...] $$-$$ [...] $$+$$ [...], $$(B)$$ asemel on avaldis $$a^{2} + b^{2}-$$[...] $$-$$ [...] $$+$$ [...] ning $$(C)$$ asemel on avaldis $$a^{2} + b^{2}-$$[...] $$+$$ [...] $$+$$ [...].

Lahutame viimase süsteemi esimesest võrrandist teise võrrandi. Saame võrduse $$4a+$$ [...] $$-$$ [...] $$ = 0$$ (1).

Seejärel lahutame viimase süsteemi esimesest võrrandist kolmanda võrrandi. Saame võrduse $$12a-$$ [...] $$- 24 = 0 $$ (2).

Võrduste (1) ja (2) põhjal leiame $$a$$ ja $$b$$ väärtused: $$a =$$ [...] ning $$b =$$ [...].

Nüüd arvutame $$r^{2}$$ väärtuse, selleks võime kasutada viimase süsteemi esimest võrdust: $$r^{2} = $$ [...].

Seega ringjoone võrrandiks saame $$($$[...]$$)^{2} + $$[...]$$^{2} = $$[...].
A: -1/- 1; 1; 1; 3; 5; -1/- 1; 2a; 2b; 2; 2a; 6b; 10; 10a; 2b; 26; 4b; 8; 4b; 2; 0; 10; x-2/x - 2; y; 10