Title: Ringjoone võrrand kolme punkti järgi

Ülesanne

Q: Leiame ringjoone võrrandi, kui see läbib punkte $$A(1; 6)$$, $$B(7; 6)$$ ja $$C(7; -2)$$.

Lahendus

Ringjoone võrrandit otsime kujul $$\left(x-a\right)^{2}+ \left (y-b\right)^{2} = r^{2}$$. Kuna antud punktid asuvad ringjoonel, siis peavad punktide koordinaadid rahuldama ringjoone võrrandit. Seega saame koostada järgneva süsteemi:

$$\left\{
\begin{array}{l}
  (A)= r^{2}\\
(B)= r^{2}\\
(C)= r^{2}\\
\end{array}
\right.$$,

kus $$(A)$$ asemel on avaldis $$($$[...]$$)^{2}+($$[...]$$)^{2}$$, $$(B)$$ asemel on avaldis $$($$[...]$$)^{2}+($$[...]$$)^{2}$$ ning $$(C)$$ asemel on avaldis $$($$[...]$$)^{2}+($$[...]$$)^{2}$$.

Järgmisena avame kõik sulud ning koondame sarnased liikmed, saame süsteemi:

$$\left\{
\begin{array}{l}
  (A)= r^{2}\\
(B)= r^{2}\\
(C)= r^{2}\\
\end{array}
\right.$$,

kus $$(A)$$ asemel on avaldis $$a^{2} + b^{2}$$ [...] $$+$$ [...], $$(B)$$ asemel on avaldis $$a^{2} + b^{2}$$ [...] $$+$$ [...] ning $$(C)$$ asemel on avaldis $$a^{2} + b^{2}$$ [...] $$+$$ [...].

Lahutame viimase süsteemi esimesest võrrandist teise võrrandi. Saame võrduse [...] $$ = 0$$, millest $$a =$$ [...].

Seejärel lahutame viimase süsteemi teisest võrrandist kolmanda võrrandi. Saame võrduse [...] $$ = 0$$, millest $$b =$$ [...].

Nüüd arvutame $$r^{2}$$ väärtuse, selleks võime kasutada viimase süsteemi esimest võrdust: $$r^{2} = $$ [...].

Seega ringjoone võrrandiks saame $$($$[...]$$)^{2} + $$([...])$$^{2} = $$[...].
A: $$1-a$$; $$6-b$$; $$7-a$$; $$6-b$$; $$7-a$$; $$-2-b$$; $$-2a-12b$$; $$37$$; $$-14a-12b$$; $$85$$; $$-14a+4b$$; $$53$$; $$12a-48$$; $$4$$; $$-16b+32$$; $$2$$; $$25$$; $$x-4$$; $$y-2$$; $$25$$