Title: Esimese astme võrrand. Teist järku jooned

Esimese astme võrrand

Q: Igale sirgele vastab lineaarne ehk kahe muutujaga esimese astme võrrand

$$Ax + By + C = 0$$, kus $$A$$  ja $$B$$ on reaalarvud ning $$A$$  ja $$B$$  ei võrdu samaaegselt nulliga.

Kui $$A$$ = 0 ja $$B$$ ≠ 0, siis sirge on parallelne [...]-teljega

Kui $$A ≠ 0$$ ja $$B = 0$$, siis sirge on parallelne [...]-teljega.
A: x; y

Credits: by Marina Mets (Author); licence CC BY 4.0

Ilma pealkirjata Text

Credits: licence CC BY-SA 4.0

Teist järku jooned

Teist järku joone üldvõrrand on kahe muutujaga teise astme võrrand kujul

$$Ax^{2} + 2Bxy + Cy^{2} + 2Dx + 2Ey + F = 0$$,

kus $$A$$, $$B$$, $$C$$, $$D$$, $$E$$, $$F$$  on reaalarvud ning vähemalt üks arvudest $$A$$, $$B$$ või $$C$$ erineb nullist.

Teist järku jooni nimetatakse ka koonuslõigeteks, sest kõik nad tekivad koonuse lõikamisel tasanditega.

Eksisteerib mitu tüüpi teist järku jooni. Kõige levinumad neist on ellips, hüperbool ja parabool.

Näiteks Kepleri seadused kirjeldavad planeetide liikumist ümber Päikese. Esimene Kepleri seadus kirjeldab planeetide orbiitide elliptilist kuju:

iga planeedi orbiit on ellips, mille ühes fookuses on Päike.

Ilma pealkirjata Text

Ellips

Ellips on joon, mille iga punkti $$A$$ kauguste summa etteantud punktidest $$F_1$$ ja $$F_2$$ on konstantne.

Neid punkte $$F_1$$ ja $$F_2$$ nimetatakse ellipsi fookusteks. Lõigud $$AF_1$$ ja $$AF_2$$ on fokaalkaugused.

Kui ellipsi keskpunkt asub koordinaatide alguspunktis, siis ellipsi kanooniline võrrand on kujul

Credits: licence CC BY 4.0

Ilma pealkirjata Text

Punkte $$(a; 0)$$, $$(-a; 0)$$, $$(0; b)$$ ja $$(0; -b)$$ nimetatakse ellipsi tippudeks ehk haripunktideks.

Tippe $$(a ; 0)$$ ja $$(-a ; 0)$$ ning $$(0 ; b)$$ ja $$(0 ; -b)$$ ühendavaid lõike nimetatakse ellipsi telgedeks.

Arvud $$a$$ ja $$b$$  on ellipsi pooltelgede pikkused. Joonisel kujutatud ellipsi korral arv $$a$$ on pikema pooltelje ning $$b$$ lühema pooltelje pikkus. Samas aga võib juhtuda, et $$b > a$$ või $$a = b$$.

Q: Klõpsa ülevalpool lisatud lingil ning uuri liugurite abil, kuidas muutub ellipsi kuju kui muudame pooltelgede $$a$$  ja $$b$$  pikkusi. Mis joon tekib, kui $$a = b$$?

Vastus: kui $$a = b$$, siis saame [...].
A: ringjoone
  Hint: millise joone?

Ilma pealkirjata Text

Hüperbool

Hüperbool on joon, mille iga punkti $$A$$ kauguste vahe etteantud punktidest $$F_1$$ ja $$F_2$$ on konstantne.

Neid punkte $$F_1$$ ja $$F_2$$ nimetatakse hüperbooli fookusteks. Lõigud $$AF_1$$ ja $$AF_2$$ on fokaalkaugused.

Hüperbooli kanooniline võrrand on kujul