Title: Hüperbooli ja sirge lõikepunktid

Ülesanne

Q: Leiame hüperbooli $$y=\dfrac{k}{x}$$ ja sirge $$ax+by+c=0$$ lõikepunktide $$A$$ ja $$B$$ koordinaadid, kui hüperbool läbib punkti $$C(-2; 3)$$, aga sirge läbib punkte $$D(-3; 0)$$ ja $$E(6; -3)$$ (vt allpool asuvat joonist).

Lahendus

Algul leiame antud joonte võrrandid.

Hüperbooli võrrandit otsime kujul $$y=\dfrac{k}{x}$$. Kuna punkt $$C$$ asub hüperboolil, siis peavad selle punkti koordinaadid rahuldama hüperbooli võrrandit. Saame [...] $$=\dfrac{k}{-2}$$, millest $$k=$$ [...]. Hüperbooli võrrand on meil sisuliselt käes.

Leiame nüüd sirge võrrandi kahe punkti abil: $$\dfrac{x+3}{(1)} = \dfrac{y}{(2)}$$, kus esimeses nimetajas on $$(1)$$ asemel arv [...] ning teises nimetajas on $$(2)$$ asemel arv [...]. Pärast teisendusi saame sirge üldvõrrandi kujul $$x+3y+$$ [...] $$=$$ [...].

Järgmisena saame leida lõikepunktide koordinaadid. Selleks koostame süsteemi:

$$\left\{
\begin{array}{l}
(A)= \dfrac{-6}{x}\\
(B)= 0\\
\end{array}
\right.$$,

kus $$(A)$$ asemel on [...] ning $$(B)$$ asemel on avaldis $$x+3y+$$ [...].

Viimase süsteemi esimeses võrrandis on avadatud tundmatu $$y$$. Asendame tundmatu $$y$$ teises võrrandis vastava avaldisega: $$x-\dfrac{18}{x}+$$ [...] $$=0$$. Tekkinud murdvõrrandi lahenditeks on $$x_1=-6$$, $$x_2=$$ [...].

Leiame nüüd vastavad $$y$$-i väärtused: $$y_1=$$ [...], $$y_2=$$ [...].

Esimese lõikepunkti koordinaadid on [...], teise lõikepunkti koordinaadid on [...].
A: 3; -6/- 6; 9; -3/- 3; 3; 0; y; 3; 3; 3; 1; -2/- 2; (-6; 1)/(-6;1); (3; -2)/(3;-2)

Credits: by Jüri Kurvits (Author); licence CC BY 4.0

[Image: Hüperbool ja sirge]