Title: Lineaarvõrrandisüsteemide lahendamine determinantide abil 7

Ilma pealkirjata Text

Credits: licence CC BY-SA 4.0

Kolme tundmatuga lineaarvõrrandisüsteemide lahendamine Crameri valemitega

Olgu antud võrrandisüsteem, mis sisaldab kolme tundmatuga kolme lineaarvõrrandit

$$\begin{cases}a_1x +b_1y+c_1z=d_1\\a_2x+b_2y+c_2z=d_2\\a_3x+b_3y+c_3z=d_3\end{cases}$$

kus $$x, y, z $$ on tundmatud, $$a_1, a_2, a_3, b_1, b_2, b_3, c_1, c_2, c_3,d_1,d_2,d_3 $$ on arvud.

Analoogiliselt kahe muutujaga lineaarvõrrandisüsteemide lahendusega, saab kolme muutujaga lineaarvõrrandisüsteemi lahendada  Crameri valemitega. Sel juhul muutujad leitakse järgmiste jagatistena

Credits: by Marina Latõnina (Author); licence CC BY 4.0

Ilma pealkirjata Text

kus $$D$$ on süsteemi determinant                                          $$D=\left|\begin{matrix} a_{1} & b_{1}&c_1 \\ a_{2} & b_{2}&c_2\\a_3&b_3&c_3 \end{matrix} \right| ​$$;

$$D_x$$ on muutujale $$x$$ vastav determinant, determinandi koostamiseks $$x$$-le vastav 1. veerg on asendatud vabaliikmete veeruga                    $$D_x=\left|\begin{matrix} \color{blue}{d_{1} }& b_{1}&c_1 \\ \color{blue}{d_{2}} & b_{2}&c_2\\\color{blue}{d_3}&b_3&c_3 \end{matrix} \right| ​$$;

$$D_y$$ on muutujale $$y$$ vastav determinant, determinandi koostamiseks $$y$$-le vastav 2. veerg on asendatud vabaliikmete veeruga                    $$D_y=\left|\begin{matrix} a_{1} &\color{blue}{ d_{1}}&c_1 \\ a_{2} &\color{blue}{ d_{2}}&c_2\\a_3&\color{blue}{d_3}&c_3 \end{matrix} \right| ​$$;

$$D_z$$ on muutujale $$z$$ vastav determinant, determinandi koostamiseks $$z$$-le vastav 3. veerg on asendatud vabaliikmete veeruga                    $$D_z=\left|\begin{matrix} a_{1} & b_{1}&\color{blue}{d_1} \\ a_{2} & b_{2}&\color{blue}{d_2}\\a_3&b_3&\color{blue}{d_3} \end{matrix} \right| ​$$.

Paneme tähele, et lineaarvõrrandisüsteemil on ühene lahend siis, kui süsteemi determinant $$D$$ ei ole võrdne nulliga ($$D\neq0$$).

Ilma pealkirjata Question Set

$$\color{green}{\text{Ülesanne 1}}$$. Olgu antud lineaarvõrrandisüsteem $$\begin{cases}3x -5y+6z=10\\-9x+3y+2z=0\\2x-y-4z=-8\end{cases}$$. Koosta determinandid, lohistades arvud vastavatesse lahtritesse.

- 3
- -5
- 6
- 10
- -9
- 2
- 0
- -1
- -4
- -8
Q: y11
A: 3
Q: y12
A: 10
Q: y13
A: 6
Q: y21
A: -9
Q: y22
A: 0
Q: y23
A: 2
Q: y31
A: 2
Q: y32
A: -8
Q: y33
A: -4
Q: z11
A: 3
Q: z12
A: -5
Q: z13
A: 10
Q: z21
A: -9
Q: z22
A: 3
Q: z23
A: 0
Q: z31
A: 2
Q: z32
A: -1
Q: z33
A: -8
Credits: by Marina Latõnina; licence CC BY 4.0

$$\color{green}{\text{Ülesanne 2}}$$Millised väited on tõesed?

Q: $$\color{green}{\text{Ülesanne 2}}$$

Millised väited on tõesed?
- Lineaarvõrrandisüsteemil on ühene lahend, kui süsteemi determinant võrdub nulliga.
- Muutuja $$x$$ väärtust saab leida jagatisest $$\dfrac{D}{D_x}$$
- Muutuja $$y$$ väärtust saab leida jagatisest  $$\dfrac{D_y}{D}$$. (correct)
- Muutuja $$z$$ leidmisel koostame jagatise $$\dfrac{D_z}{D}$$. (correct)
- Kui süsteemi determinant $$D$$ võrdub neljaga ja muutujale $$y$$ vastav determinant võrdub viiega, siis muutuja $$y$$ võrdub 0,8.
- Kui süsteemi determinant $$D=5$$ ja $$D_x=4$$, siis $$x=0,8$$. (correct)

$$\color{green}{\text{Ülesanne 3}}$$On antud lineaarvõrrandisüsteem $$\begin{cases}3A +4B=5C\\5B-6A=-3\\15-3C-B=5A\end{cases}$$. Koosta muutujale $$A$$ vastav determinant ja kirjuta lahtritesse selle detrminandi esimese veeru elemendid.

$$\color{green}{\text{Ülesanne 3}}$$

On antud lineaarvõrrandisüsteem $$\begin{cases}3A +4B=5C\\5B-6A=-3\\15-3C-B=5A\end{cases}$$. Koosta muutujale $$A$$ vastav determinant ja kirjuta lahtritesse selle detrminandi esimese veeru elemendid.

Q: [...]

[...]

[...]
A: 0; -3/3; -15/15

$$\color{green}{\text{Ülesanne 4}}$$. Koosta muutujale $$z$$ vastav determinant, kui on teada sama lineaarvõrrandisüsteemi muutujate $$x$$ ja $$y$$ vastavad determinandid.

- 3
- 2
- -7
- 5
- -5
- 1
- -6
- 0
- -1
- 4
Q: z11
A: 3
Q: z12
A: 2
Q: z13
A: -7
Q: z21
A: 2
Q: z22
A: 5
Q: z23
A: -5
Q: z31
A: 1
Q: z32
A: 1
Q: z33
A: -6