Title: Murdvõrrandid 2

Ilma pealkirjata Text

Credits: licence CC BY-SA 4.0

Murdvõrrandi lahendamine

Murdvõrrandi lahendamisel

- tuuakse tavaliselt võrrandi kõik liikmed ühele poole võrdusmärki,
- viiakse ühisele nimetajale,
- kasutatakse murru nulliga võrdumise tingimust: murd on võrdne nulliga parajasti siis, kui lugeja on võrdne nulliga ja nimetaja on nullist erinev.

​Selle tingimuse kohaselt tuleb võrdsustada murru lugeja nulliga, lahendada saadud võrrand ja lahendite hulgast kõrvaldada need, mis muudavad nimetaja nulliks.

Ilma pealkirjata Accordion

$$\color{green}{\text{Näide 1.}}$$ Lahendada võrrand $$\dfrac{9}{2\left(x+2\right)}-\dfrac{3}{2\left(x-2\right)}=3$$

Ilma pealkirjata Text

Toome kõik liikmed vasakule ja viime ühisele nimetajale:

$$\frac{9^{\diagdown{x-2}}}{2(x+2)}-\frac{3^{\diagdown {x+2}}}{2(x-2)}-3^{\diagdown {2(x^2-4)}}=0,$$

$$\dfrac{9\left(x-2\right)-3\left(x+2\right)-6\left(x^2-4\right)}{2\left(x+2\right)\left(x-2\right)}=0.$$

Kasutame murru nulliga võrdumise tingimust:

\begin{cases}9(x-2)-3(x+2)-6(x^{2}-4)=0&(1)\\2(x-2)(x+2)\neq0 & (2) \end{cases}

Lahendame esimese võrrandi (1):

$$9x-18-3x-6-6x^2+24=0$$

$$6x-6x^2=0$$,

$$x_{1}=0,x_{2}=1.$$

Tingimusest (2) selgub, et $$x\neq2,x\neq-2$$. Mõlemad saadud lahendid rahuldavad tingimusi, järelikult neid saab lugeda murdvõrrandi lahenditeks. Kontrollime saadud lahendeid:

kui x_1 = 0, siis $$\dfrac{9}{4}+\dfrac{3}{4}=3$$, ehk parem pool võrdub vasaku poolega;

kui x_2 = 1, siis $$\dfrac{9}{2\cdot 3}+\dfrac{3}{2}=3$$, ehk parem pool võrdub vasaku poolega.

Vastus: murdvõrrandi lahenditeks on arvud $$x_{1}=0,x_{2}=1.$$

$$\color{green}{\text{Näide 2}}$$. Lahendada võrrand $$\dfrac{x-2}{4-x^2}=2-\dfrac{x}{x+2}$$

Ilma pealkirjata Text

Toome kõik liikmed vasakule ja viime ühisele nimetajale, viimase murru nimetajas saab vahetada liidetavate kohad:

$$\dfrac{x-2}{4-x^2}-2^{\diagdown{4-x^2}}+\dfrac {x^{\diagdown{2-x}}}{2+x}=0$$,

$$\dfrac{x-2-2(4-x^2)+x(2-x)}{4-x^2}=0$$.

Kasutame murru nulliga võrdumise tingimust (lugeja võrdub nulliga, nimetaja erineb nullist):

$$\begin{cases}x-2-2(4-x^2)+x(2-x)=0\\(4-x^2)\neq0\end{cases}$$.

Teisest tingimusest selgub, et $$x\neq2,x\neq-2$$, sellega tuleb arvestada võrrandi lahendite kontrollimisel. Lahendame esimest võrrandit:

                                  $$x-2-8+2x^2+2x-x^2=0,$$

$$x^2+3x-10=0,$$

$$x_{1}= - 5,x_{2}=2.$$

Lahend $$x_{2}=2$$ ei vasta ülesande tingimustele ($$x\neq2,x\neq-2$$), see arv on ruutvõrrandi lahend, mitte ülesande lahend, järelikult seda arvu me ei saa panna lahendite hulka.

Vastus: murdvõrrandi lahend on x = -5.

$$\color{green}{\text{Näide 3}}$$. Murdvõrrandi $$\dfrac{x}{x+3}=\dfrac{4}{x}$$ lahendamine võrde põhiomaduse abil

Ilma pealkirjata Text

Mõnda murdvõrrandit on mõistlik lahendada, kasutades võrde põhiomadust: võrde välisliikmete korrutis võrdub siseliikmete korrutisega, ehk $$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\Rightarrow{ad=bc}$$.

Kasutades võrde põhiomadust, saame võrrandi  $$x^2=4(x+3)$$, mille lahendamisel peame arvestama, et nimetajad ei tohi võrduda nulliga, ehk $$x\neq-3,x\neq0$$.

Lahendame võrrandi                         $$x^2-4x-12=0,$$

                                                          $$x_{1}= 2,x_{2}=6.$$

Mõlemad lahendid rahuldavad ülesande tingimusi, järelikult neid saab lugeda murdvõrrandi lahenditeks.

Vastus: $$x_{1}= 2,x_{2}=6.$$

$$\color{green}{\text{Ülesanne 1}}$$ Täida lüngad

$$\color{green}{\text{Ülesanne 1}}$$

Täida lüngad

Q: Murdvõrrandi lahendamisel tuleb alati peale lihtsustamist ja parema poole 0 saamisel arvestada, et vasaku poole lugeja [...] nulliga, nimetaja [...] nulliga.

Kui murdvõrrandil lugeja ei võrdu nulliga, siis võrrandil lahendeid [...].

Kasuta võrde põhiomadust (ristkorrutist) ja kirjuta võrrand $$\dfrac{4x}{5x+6}=\dfrac{9}{7x^2+1}$$ ilma murruta: $$(7x^2+1)\cdot$$ [...]=$$(5x+6)\cdot$$ [...].
A: võrdub; ei võrdu; pole; 4x; 9
  Hint: võrdub/ei võrdu
  Hint: võrdub/ei võrdu
  Hint: pole/lõpmata palju lahendeid

$$\color{green}{\text{Ülesanne 2}}$$ Leia võrrandite $$(\dfrac{6x+3}{x-2})^2-1=0$$ ja $$ 3x^2+5x+2=0$$ ühine lahend.

$$\color{green}{\text{Ülesanne 2}}$$

Leia võrrandite $$\left(\dfrac{6x+3}{x-2}\right)^2-1=0$$  ja $$ 3x^2+5x+2=0$$  ühine lahend.

Q: Nende võrrandite ühine lahend on [...].
A: -1