Title: Vektorite skalaarkorrutis

Ilma pealkirjata Course Presentation

Credits: licence CC BY-SA 4.0

Vaatleme objekti liikumist mööda kaldpinda (vt allpool asuvat joonist 1). Ülesandeks seame kontsantse jõu $$\vec{F}$$ poolt tehtava töö arvutamise.

Q: Selleks objektiks võib olla kelk, mida veab laps mäest üles või siis puukoorem, mis liigub üles tänu hobuse jõupingutustele. Püüame antud situatsiooni kirjeldada vektorite abil. Lisaks läheb vaja teadmisi füüsikast. Need tuletame jooksvalt meelde.

Objekt (joonisel 1 ristküliku kujul) liigub punktist [...] punkti [...] konstantse jõu $$\vec{F}$$ mõjul. Jõud $$\vec{F}$$ moodustab liikumissuunaga $$AB$$ teravnurga $$\varphi$$, siis teeb tööd vaid jõu liikumissuunaline komponent $$\vec{AQ}$$. Füüsika tunnist teame, et töö on võrdne jõu liikumissuunalise komponendi ja läbitud tee pikkuse [...].

Seega, töö $$A =$$ [...] $$\cdot\left|\vec{AQ}\right|$$. Kuna nihkevektori $$\vec{s}$$ pikkus on võrdne keha pool läbitud [...], siis võib viimase võrduse esitada kujul $$A =\left|\vec{s}\right|$$ $$\cdot\left|\vec{AQ}\right|$$.

Järgmisena avaldame jõu $$\vec{AQ}$$ suuruse $$\left|\vec{AQ}\right|$$ jõu $$\vec{F}$$ kaudu. Selleks kasutame täisnurkse kolmnurga trigonomeetriat, saame $$\left|\vec{AQ}\right|$$ = $$\left|\vec{F}\right|\cdot $$ [...]$$\varphi$$.
A: A; B; korrutisega; AB/BA; teega/teepikkusega; cos
  Hint: millega? kirjuta sobiv matemaatiline tehe
  Hint: kirjuta sobiva lõigu pikkus kasutades joonisel kasutatud tähti
  Hint: millega?kirjuta üks sõna
  Hint: sin/cos/tan/cot

Ilma pealkirjata Text

NB! Töö ei ole mitte olekut (näiteks liikumist), vaid selle muutumist kirjeldav suurus. Seega ei iseloomusta ta mitte keha, vaid protsessi. Töö ühikuks on džaul (J), mis on võrdne tööga, mida teeb liikumissuunaline jõud üks njuuton tee pikkusel üks meeter.

Q: Seega on objekti liikumisel punktist $$A$$ punkti $$B$$ jõu $$\vec{F}$$ poolt tehtav töö

A $$=$$ $$\left|\vec{s}\right|$$ $$\cdot \left|\vec{AQ}\right|$$ $$=$$ $$\left|\vec{s}\right|$$ $$\cdot \left|\vec{F}\right|$$ $$\cdot$$ cos$$\varphi$$.

Korrutist $$\left|\vec{s}\right|$$ $$\cdot \left|\vec{F}\right|$$ $$\cdot $$ cos$$\varphi$$ nimetatakse vektorite $$\vec{s}$$ ja $$\vec{F}$$ skalaarkorrutiseks ning tähistatakse sümboliga $$\vec{s}\cdot \vec{F}$$. Seega:

$$\vec{s}\cdot \vec{F}$$ $$=$$ $$\left|\vec{s}\right|$$ $$\cdot \left|\vec{F}\right|$$ $$\cdot $$ cos$$\varphi$$.

Vektorite skalaarkorrutis seab kahele vektorile vastavusse [...].

Vektorite skalaarkorrutisel on palju rakendusi erinevates valdkondades. Füüsikas kasutatakse seda kontstantse jõu $$\vec{F}$$ poolt tehtava töö arvutamisel. Majanduses kasutatakse seda tulu arvutamisel, kui on teada müüdud kauba hulk ja vastavad hinnad. Vektorite skalaarkorrutist kasutatakse ka arvutimängude programmeerimisel.
A: arvu
  Hint: vastusevariandid: muutuja/tundmatu/vektori/arvu/võrduse

1. Ülesanne

Q: Laps veab poole mäe pealt üles kelku jõuga 60 N (vt allpool asuvat joonist 1). Kelgunööri ja mäenõlva vaheline nurk on 40 kraadi. Kui suure töö laps tegi, kui kelgu poolt läbitud teepikkuseks on 40 meetrit? Vastus esita1 džauli täpsusega.

Lahendus

Lapse poolt tehtud töö saab arvutada vektorite [...] abil. Selle leidmiseks märgime järgmised suurused:

$$\left|\vec{s}\right|$$ $$=$$ [...];

$$\left|\vec{AQ}\right|$$ $$=$$ [...] $$\cdot$$ [...]40°.

Arvutame välja töö: $$A \approx $$ [...] J.
A: skalaarkorrutise; 40; 60; cos; 1839
  Hint: mille?
  Hint: kirjuta sobiv arv
  Hint: kirjuta sobiv arv
  Hint: kirjuta kolm tähte
  Hint: ümarda vastus ühelisteni, koosinuse väärtus võta kalkulaatorilt

2. Ülesanne

Q: Leiame vektorite $$\vec{OA}$$ ja $$\vec{OB}$$ skalaarkorrutise sajandiku täpsusega, kui $$A(4; 1)$$, $$B(3; 5)$$ ning $$O$$ on koordinaatide alguspunkt (vt allpool asuvat joonist 2).

Lahendus

Algul leiame vektorite $$\vec{OA}$$ ja $$\vec{OB}$$ koordinaadid ja pikkused sajandiku täpsusega:

$$\vec{OA}$$ $$=$$ [...] , $$\left|\vec{OA}\right| \approx $$ [...];

$$\vec{OB}$$ $$=$$ [...] , $$\left|\vec{OB}\right| \approx $$ [...].

Nurk $$\varphi$$ $$=$$ $$\beta$$ [...] $$\alpha$$. Nurga $$\alpha$$ leiame kolmnurgast [...] ning nurga $$\beta$$ kolmnurgast [...].
A: (4; 1)/(4;1); 4,12/4.12; (3; 5)/(3;5); 5,83/5.83; -/miinus; OEA/EAO/AEO/OAE/EOA/AOE; ODB/DBO/BDO/OBD/DOB/BOD
  Hint: vastus kirjuta kujul (a; b)
  Hint: kirjuta sobiv arv
  Hint: vastus kirjuta kujul (a; b)
  Hint: kirjuta sobiv arv
  Hint: kirjuta sobiv sümbol

2. Ülesanne

Q: Lahendus (jätk)

Leiame nurgad $$\alpha$$ ja $$\beta$$ kraadi täpsusega:

tan $$\alpha$$ $$=$$ [...] $$:$$ [...], millest $$\alpha$$ ≈ [...] kraadi;

tan $$\beta$$ $$=$$ [...] $$:$$ [...], millest $$\beta$$ ≈ [...] kraadi.

Seega $$\varphi$$ ≈ [...] kraadi ning cos$$\varphi$$ ≈ [...].

Nüüd saame arvutada välja vektorite $$\vec{OA}$$ ja $$\vec{OB}$$ skalaarkorrutise:

$$\vec{OA}$$ $$\cdot$$ $$\vec{OB}$$ $$\approx$$ [...].
A: 1; 4; 14; 5; 3; 59; 45; 0,7071/0.7071; 16,98/16.98
  Hint: kirjuta sobiv arv
  Hint: kirjuta sobiv arv
  Hint: kirjuta sobiv arv
  Hint: kirjuta sobiv arv
  Hint: vastus esita nelja komakoha täpsusega ning kasuta eelmise lünga tulemust
  Hint: vastus esita sajandiku täpsusega

Ilma pealkirjata Course Presentation

Credits: by Jüri Kurvits (Author); licence CC BY 4.0

[Image: Vektorite skalaarkorrutis]

Ilma pealkirjata Text

Joonis 1

[Image: Kaks vektorit]

Ilma pealkirjata Text

Joonis 2