Title: Vektorite skalaarkorrutise avaldamine vektorite koordinaatide kaudu

Ilma pealkirjata Course Presentation

Credits: licence CC BY-SA 4.0

Uurime, kuidas avaldub vektorite skalaarkorrutis vektorite koordinaatide kaudu

Q: Vaatleme vektoreid $$\vec{OA}$$ ja $$\vec{OB}$$, millel on ühine alguspunkt (lihtsuse mõttes). Vektori $$\vec{OA}$$ koordinaadid on [...], vektori $$\vec{OB}$$ koordinaadid on [...].

Vektor $$\vec{OA}$$ moodustab $$x$$-telje positiivse suunaga nurga [...]. Vektor $$\vec{OB}$$ moodustab $$x$$-telje positiivse suunaga nurga [...]. Nurk $$\varphi$$ $$=$$ [...] $$-$$ [...].

Vektori $$\vec{OA}$$ pikkus on [...]. Vektori $$\vec{OB}$$ pikkus on [...].
A: $$(X_1; Y_1)$$; $$(X_2; Y_2)$$; $$\alpha$$; $$\beta$$; $$\beta$$; $$\alpha$$; $$\left|\vec{OA}\right|$$; $$\left|\vec{OB}\right|$$

Credits: by Jüri Kurvits (Author); licence CC BY 4.0

[Image: Kaks vektorit]

Q: Leiame nurkade $$\alpha$$ ja $$\beta$$ trigonomeetrilised funktsioonid:

sin$$\alpha$$ $$=$$ [...];

cos$$\alpha$$ $$=$$ [...];

sin$$\beta$$ $$=$$ [...];

cos$$\beta$$ $$=$$ [...].
A: $$\frac{Y_{1} }{\left|\vec{OA} \right| }$$; $$\frac{X_{1} }{\left|\vec{OA} \right| }$$; $$\frac{Y_{2} }{\left|\vec{OB} \right| }$$; $$\frac{X_{2} }{\left|\vec{OB} \right| }$$

[Image: Kaks vektorit]

Ilma pealkirjata Text

Need valemid kehtivad mis tahes nurkade $$\alpha$$ ja $$\beta$$ korral.

Nüüd leiame cos$$\varphi$$ vahe koosinuse valemi järgi:

Q: cos$$\varphi$$ $$=$$ cos $$(\beta - \alpha)$$ $$=$$ cos$$\alpha \cdot$$[...] $$+$$ sin$$\alpha \cdot$$[...]. Asendame trigonomeetrilised funktsioonid eelmisel slaidil toodud avaldistega, saame

cos$$\varphi$$ $$=$$ $$\frac{X_{1} }{\left|\vec{OA} \right|} \cdot $$[...] $$+$$ $$\frac{Y_{1} }{\left|\vec{OA} \right|} \cdot $$[...] .

Järelikult cos$$\varphi$$ $$=$$ $$\frac{X_{1}X_{2} + Y_{1}Y_{2}}{\left|\vec{OA} \right| \cdot \left|\vec{OB} \right|}$$ .
A: cos$$\beta$$; sin$$\beta$$; $$\frac{X_{2} }{\left|\vec{OB} \right|}$$; $$\frac{Y_{2} }{\left|\vec{OB} \right|}$$

Ilma pealkirjata Text

Korrutame võrduse cos$$\varphi$$ $$=$$ $$\frac{X_{1}X_{2} + Y_{1}Y_{2}}{\left|\vec{OA} \right| \cdot \left|\vec{OB} \right|}$$  mõlemad pooled suurusega $$\left|\vec{OA} \right| \cdot \left|\vec{OB} \right|$$, saame

$$\left|\vec{OA} \right| \cdot \left|\vec{OB} \right| \cdot$$ cos$$\varphi$$ $$=$$ $$X_{1}X_{2} + Y_{1}Y_{2}$$ .

Järelikult, vektorite skalaarkorrutis

$$\vec{OA}$$ $$\cdot \vec{OB}$$ $$=$$ $$X_{1}X_{2} + Y_{1}Y_{2}$$.

Jäta meelde!

Vektorite skalaarkorrutis on võrdne nende vastavate koordinaatide korrutiste summaga.