Title: Nurk kahe vektori vahel

Ülesanne

Q: Leiame ühikvektori $$\vec{s}$$ koordinaadid, kui see moodustab $$x$$-telje positiivse suunaga nurga $$\varphi$$ $$=$$ 30°.

Lahendus

Ülesande lahendamisel kasutame allpool esitatud konstruktsiooni (vaata joonist). Võtame abiks ühikvektori $$\vec{a}$$, mis on $$x$$-telje suunaline. Sellisel juhul on $$\vec{a}$$ $$=$$ [...]. Tegelikult vektor $$\vec{a}$$ ei pea olema ühikvektor, aga selle puhul on arvutused veidi lihtsamad.

Olgu vektor $$\vec{s}$$ $$=$$ $$(x; y)$$. Leiame $$x$$ ja $$y$$ väärtused.

Ülesande lahendamisel kasutame valemit: cos$$\varphi$$ $$=$$ $$\frac{X_{1}\cdot X_{2} + Y_{1}\cdot Y_{2}}{\sqrt{(X_{1})^{2} +(Y_{1})^{2}} \cdot \sqrt{(X_{2})^{2} +(Y_{2})^{2}}}$$ (1).

Leiame võrduse (1) komponendid (vektorite $$\vec{s}$$ ja $$\vec{a}$$ juhul):

cos$$\varphi$$ $$=$$ [...];

$$X_{1}\cdot X_{2} + Y_{1}\cdot Y_{2}$$ $$=$$ [...];

$$\sqrt{(X_{1})^{2} +(Y_{1})^{2}} \cdot \sqrt{(X_{2})^{2} +(Y_{2})^{2}}$$ $$=$$ [...].

Asendades võrduse (1) komponendid vastavate avaldistega, saame $$x$$ $$=$$ [...].

Järgmisena arvutame vektori $$\vec{s}$$ $$y$$-koordinaadi. Selleks kasutame vektori pikkuse valemit, mille põhjal saame võrduse:

[...] $$+$$ [...] $$=$$ [...], millest

$$y^{2}$$ $$=$$ [...]. Seega $$y$$ $$=$$ [...].
A: (1; 0); $$\frac{\sqrt{3} }{2}$$; $$x$$; 1; $$\frac{\sqrt{3} }{2}$$; $$\left(\frac{\sqrt{3} }{2}\right) ^{2}$$; $$y^{2}$$; 1; $$\frac{1}{4}$$; $$\frac{1}{2}$$
  Hint: NB! Mõlemad vektorid on ühikvektorid ning meil on teada nende pikkused

Credits: by Jüri Kurvits (Author); licence CC BY 4.0

[Image: Kaks vektorit]