Title: 02 ET_Imaginaararvud

Ilma pealkirjata Text

Võrrandi \(ax^2+bx+c = 0\) lahendid on \(x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4\cdot a\cdot c}}{2\cdot a}\).

Ruutvõrrandi lahendivalemis ruutjuure märgi all olevat avaldist nimetatakse ruutvõrrandi diskriminandiks.

Ilma pealkirjata Text

Ruutvõrrand negatiivse diskriminandiga

Без названия Text

Matemaatikas annavad kompleksarvud võimaluse lahendada mis tahes ruutvõrrandit, isegi negatiivse diskriminandiga.

Без названия Text

\(x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4\cdot a\cdot c}}{2\cdot a}\)

Ilma pealkirjata Text

Võrrandi \(ax^2+bx+c = 0\) lahendid on

Без названия Text

Näide 1 Lahenda võrrand \(x^2-4x+13 = 0\)

Lahendus:

\(x_{1,2}=\frac{-(-4)\pm\sqrt{(-4)^2-4\cdot1\cdot13}}{2\cdot1}=\frac{4\pm\sqrt{-36}}{2}\)

\(x_{1,2}=\frac{4\pm6i}{2}=\frac{4}{2}\pm\frac{6i}{2}=2\pm3i\)

Без названия Text

Näide 2 Lahenda võrrand \(x^2 + 16 = 0\)

Lahendus:

Siin \(x^2=-16\) ja \(x_{1,2}= \pm\sqrt{ -16}\).

Seega \(x_{1,2} = \pm\sqrt{16\cdot (-1)} = \pm4i\).

Ilma pealkirjata Text

\(\sqrt{36\cdot(-1)}=\sqrt{36}\cdot\sqrt{-1}}\)

Ruutvõrrand Fill in the Blanks

Lahenda võrrand \(x^2+961 = 0\)

Q: Vastus: \(x_{1}=\)[...], \(x_{2}=\)[...].
A: -31i/31i; 31i/-31i
Feedback (0 to 100%): Lahendus: \(\Rightarrow x^2= -961 \Rightarrow x_{1,2} = \sqrt{-961} \Rightarrow x_{1,2} = \pm31i\)

Ruutvõrrand Fill in the Blanks

Lahenda võrrand \(x^2+6x+34 = 0\)

Q: Vastus: \(x_{1}\) = [...], \(x_{2}\) = [...].
A: -3-5i/-3+5i; -3+5i/-3-5i
Feedback (0 to 100%): Lahendus: \(x^2+6x+34 = 0 \Rightarrow D = 6^2-4\cdot34 = 36-136 = -100 \\ x_{1,2} = \frac{-6\pm\sqrt{-100}}{2} = \frac{-6\pm 10i}{2}\Rightarrow x_1 = -3+5i, x_2 = -3-5i\\\)

Equation Fill in the Blanks

Lahenda võrrand \(x\cdot(x-2)+26 = 0\)

Q: Vastus: \(x_{1}=\)[...], \(x_{2}=\)[...].
A: 1-5i/1+5i; 1+5i/1-5i
Feedback (0 to 100%): Lahendus: \(x\cdot(x-2)+26 = 0 \Rightarrow x^2-2x+26 \Rightarrow D = (-2)^2-4\cdot26 = 4-104 = -100 \\ x_{1,2} = \frac{2\pm\sqrt{-100}}{2} = \frac{2\pm 10i}{2}\Rightarrow x_1 = 1+5i, x_2 = -1-5i \)

Без названия Text

Harjuta

Ilma pealkirjata Text

Ruutvõrrandi lahendi olemus vastavalt diskriminandile

Без названия Table

\(\large{a\cdot x^2+b\cdot x+c=0}\)

Diskriminant | Ruutvõrrandi lahendid
\(b^2-4ac = 0\) | Kaks võrdset reaalset lahendit
\(b^2-4ac > 0\) | Kaks erinevat reaalset lahendit (imaginaarne osa puudub)
\(b^2-4ac < 0\) | Kaks erinevat komplekset lahendit (koos imaginaarosaga)

Ilma pealkirjata Text

Näide 1.

Kontrolli võrrandi \(x^2−3x+2=0\) lahendite kuju

Lahendus:  Siin \(a=1\), \(b=-3\) ja \(c=2\), seega

\(D=b^2-4ac=(-3)^2-4\cdot 1\cdot 2=9-8=1>0\).

Vastus: Vorrandil on kaks erinevat reaalset lahendit.

Ilma pealkirjata Text

Näide 1

Ilma pealkirjata Text

Näide 2.

Kontrolli võrrandi \(4x^2−4x+1=0\) lahendite kuju

Lahendus:  Siin \(a=4\), \(b=-4\) ja \(c=1\), seega

\(D=b^2-4ac=(-4)^2-4\cdot 4\cdot 1=0\).

Vastus: Vorrandil on kaks võrdset reaalset lahendit.

Ilma pealkirjata Text

Näide 2

Lahendid Single Choice Set

Q: Kontrolli lahendite kuju \(x^2-6x+9=0\)
- Kaks võrdset reaalset lahendit (correct)
- Kaks erinevat reaalset lahendit
- Kaks erinevat komplekset lahendit

Q: Kontrolli lahendite kuju \(x^2-4x+15=0\)
- Kaks erinevat komplekset lahendit (correct)
- Kaks erinevat reaalset lahendit
- Kaks võrset reaalset lahendit

Q: Kontrolli lahendite kuju \(8x^2-14x+3=0\)
- Kaks erinevat reaalset lahendit (correct)
- Kaks võrdset reaalset lahendit
- Kaks erinevat komplekset lahendit

Без названия Text

Harjuta

Ilma pealkirjata Text

Näide 3.

Kontrolli võrrandi \(x^2+x+12=0\) lahendite kuju

Lahendus:  Siin \(a=1\), \(b=1\) ja \(c=12\), seega

\(D=b^2-4ac=1^2-4\cdot 1\cdot 12=1-48=-47>0\).

Vastus: Vorrandil on kaks erinevat komplekset lahendit.

Ilma pealkirjata Text

Näide 3