Title: TTK-021-TUT-ET

Ilma pealkirjata Text

Kompleksarvu argument

Без названия Text

Nurka \(\varphi\) positiivse \(x-\)telje ja lähtepunktist punktini \(Z\) tõmmatud joone vahel nimetatakse argumendiks või amplituudiks \(z\), tähistatakse \(\varphi\).

Ilma pealkirjata Text

Märkus. Ei ole kompleksarvu argument üheselt määratletud. Sama kompleksarvu argumendil võib olla lõpmatult palju väärtusi, mis erinevad üksteisest \(360^\circ\) (\(2\pi\)) võrra.

Без названия Text

Kompleksarvu \(z\) argumenti, mis kuulub poollõiku \([0,2\pi)\) nimetatakse argumendi peaväärtuseks ja tähistatakse \(\text{arg}\; z\), seega \(0\leq\text{arg}\;z<2\pi.\)

Ilma pealkirjata Text

Näide

Ilma pealkirjata Text

Juba järgmisel slaidil õppime, kuidas märata mitu kraadi argument on.

Ilma pealkirjata Text

Harjuta

Без названия Single Choice Set

Q: Mitmends veerandis asub komleksarv, mille argument on \(\varphi=135^\circ\)?
- II (correct)
- I
- III
- IV

Без названия Single Choice Set

Q: Mitmendas veerandis asub kompleksarv, milleargument on \(\varphi=-400^\circ\)?
- IV (correct)
- I
- III
- II

Без названия Single Choice Set

Q: Mitmendas veerandis asub kompleksarv, mille argument on \(\varphi=\frac{12\pi}{9}\)?
- III (correct)
- I
- II
- IV

Ilma pealkirjata Text

Kompleksarvu argument (I veerand)

Без названия Text

Täisnurkses kolmnurgas kaatetidega \(a\) ja \(b\) nurga väärtus saab leida selle nurga tangensi kaudu ehk

\(\tan\varphi=\left|\displaystyle\frac{b}{a}\right|\qquad \text{ja} \quad\varphi=\arctan\displaystyle\left|\frac{b}{a}\right|\).

Ilma pealkirjata Text

Näide.

Ilma pealkirjata Text

Leia kompleksarvu \(z=3+i\;\) argument kraadides kümnendiku täpsusega.

Без названия Text

Lahendus: Antud kompleksarvu reaal- ja imaginaarosad on \(a=3\) ja \(b=1\). Seega valemi järgi otsitav nurk on

\(\varphi=\arctan\displaystyle\left|\frac{1}{3}\right|\approx18,4^\circ\)

Ilma pealkirjata Text

Kontrolliks leia taskuarvutil \(arctan\frac{1}{3}\) nuppu \(tan^{-1}\) abil.

Ilma pealkirjata Fill in the Blanks

Leia kompleksarvu \(z=3+4i\) argument täiskraadides.

Q: Vastus: \(\varphi=\)[...]\(^\circ\)
A: 53
Feedback (0 to 100%): Lahendus: \(\varphi=\arctan\left|\frac{4}{3}\right|\approx 53^\circ\)

Ilma pealkirjata Fill in the Blanks

Leia kompleksarvu \(z=\sqrt{3}+i\) argument radiaanides (üleminek radiaanidesse toimub järgmise valemiga \(\displaystyle\frac{\pi\cdot\varphi}{180^\circ}\)).

Q: Vastus: \(\varphi=\displaystyle\frac{A\pi}{B}\), kus \(A=\)[...], \(B=\)[...].
A: 1; 6
Feedback (0 to 100%): Lahendus: \(\varphi=\arctan\left|\frac{1}{\sqrt{3}}\right|=\frac{\pi}{6}\)

Ilma pealkirjata Text

Harjuta

Ilma pealkirjata Text

Kompleksarvu argument (II veerand)

Без названия Text

Juhul, kui kompleksarv asub teises veerandis nurga suurus on vahemikust \(\left(\displaystyle\frac{\pi}{2}, \pi\right)\). Siis argumendi \(\varphi\) leidmiseks kasutatakse valemit:

\(\varphi=\pi-\arctan\displaystyle\left|\frac{b}{a}\right|\).

Ilma pealkirjata Text

\(\pi\)

Ilma pealkirjata Text

Kraadides see on \(\varphi=180^\circ-\arctan\displaystyle\left|\frac{b}{a}\right|\).

Ilma pealkirjata Text

Näide.

Ilma pealkirjata Text

Leia kompleksarvu \(z=-4+4i\;\) argument radiaanides.

Без названия Text

Lahendus: Siin \(a=-4\) ja \(b=4\). Seega valemi järgi otsitav nurk on

\(\varphi=\pi-\arctan\displaystyle\left|\frac{4}{-4}\right|=\pi-\arctan1=\pi-\displaystyle\frac{\pi}{4}=\displaystyle\frac{3\pi}{4}\)

Ilma pealkirjata Fill in the Blanks

Leia kompleksarvu \(z=-7+2i\;\) argument täiskraadides.

Q: Vastus: \(\varphi=\)[...]\(^\circ\)
A: 164
Feedback (0 to 100%): Lahendus: \(\varphi=\pi-\arctan\left|\frac{2}{-7}\right|= 180^{\circ}-\arctan\frac{2}{7}\approx164^{\circ}\)

Ilma pealkirjata Text

Harjuta

Ilma pealkirjata Fill in the Blanks

Leia kompleksarvu \(z=-\sqrt{3}+3i\;\) argument radiaanides.

Q: Vastus: \(\varphi=\displaystyle\frac{A\cdot\pi}{B}\), kus \(A=\)[...] ja \(B=\)[...]
A: 2; 3
Feedback (0 to 100%): Lahendus: \(\varphi=\pi-\arctan\left|\frac{3}{-\sqrt{3}}\right|= \pi-\frac{\pi}{3}=\frac{2\pi}{3}\)

Ilma pealkirjata Text

Kompleksarvu argument (III veerand)

Без названия Text

Juhul, kui kompleksarv asub kolmandas veerandis, argument \(\varphi\) on leitav järgmise valemiga:

\(\varphi=\pi+\arctan\displaystyle\left|\frac{b}{a}\right|\).

Ilma pealkirjata Text

\(\pi\)

Ilma pealkirjata Text

Kraadides, see on \(\varphi=180^\circ+\arctan\displaystyle\left|\frac{b}{a}\right|\).

Ilma pealkirjata Text

Näide.

Ilma pealkirjata Text

Leia kompleksarvu \(z=-2-3i\;\) argument radiaanides sajandiku täpsusega.

Без названия Text

Lahendus: Siin \(a=-2\) ja \(b=-3\). Seega valemi järgi otsitav nurk on

\(\varphi=\pi+\arctan\displaystyle\left|\frac{-3}{-2}\right|=\pi+\arctan\frac{3}{2}\approx3,14+0,98=4,12\) rad.

Ilma pealkirjata Text

Harjuta

Ilma pealkirjata Fill in the Blanks

Leia kompleksarvu \(z=-5-2i\;\) argument radiaanides sajandiku täpsusega.

Q: \(\varphi=\)[...] rad
A: 3,52/3.52
Feedback (0 to 100%): Lahendus: \(\varphi=\pi+\arctan\left|\frac{-2}{-5}\right|\approx 3,14+\arctan\frac{2}{5}\approx 3,52\)

Ilma pealkirjata Fill in the Blanks

Leia kompleksarvu \(z=-3-5i\;\) argument täiskraadides.

Q: \(\varphi=\)[...]\(^\circ\)
A: 239
Feedback (0 to 100%): Lahendus: \(\varphi=\pi+\arctan \left| \frac{-5}{-3}\right| =180^{\circ}+\arctan\frac{5}{3}\approx 239^{\circ}\)

Ilma pealkirjata Text

Kompleksarvu argument (IV veerand)

Без названия Text

Juhul, kui kompleksarv asub neljandes veerandis, siis selle argument on vahemikust \(\left(\displaystyle\frac{3\pi}{2}, 2\pi\right)\) ja on leitav valemiga

\(\varphi=2\pi-\arctan\displaystyle\left|\frac{b}{a}\right|\).

Ilma pealkirjata Text

\(2\pi\)

Ilma pealkirjata Text

Kraadides see on \(\varphi=360^\circ-\arctan\displaystyle\left|\frac{b}{a}\right|\).

Ilma pealkirjata Text

Näide.

Ilma pealkirjata Text

Leia kompleksarvu \(z=3-2i\;\) argument radiaanides (kõik arvutused sajandiku täpsusega).

Без названия Text

Lahendus: Siin \(a=3\) ja \(b=-2\). Seega valemi järgi otsitav nurk on

\(\varphi=2\pi-\arctan\displaystyle\left|\frac{-2}{3}\right|\approx6,28-0,59=5,69\;\) rad

Ilma pealkirjata Text

Harjuta

Ilma pealkirjata Fill in the Blanks

Leia kompleksarvu \(z=2-6i\;\) argument radiaanides (kõik arvutused sajandiku täpsusega).

Q: \(\varphi=\)[...] rad
A: 5,03/5.03
Feedback (0 to 100%): Lahendus: \(\varphi=2\pi-\arctan \left| \frac{-6}{2}\right| \approx 6,28-\arctan{3}\approx5,03\)

Ilma pealkirjata Fill in the Blanks

Leia kompleksarvu \(z=3-5i\;\) argument täiskraadides.

Q: \(\varphi\approx\)[...]\(^\circ\)
A: 301
Feedback (0 to 100%): Lahendus: \(\varphi=2\pi-\arctan \left| \frac{-5}{3}\right| =360^\circ-\arctan\frac{5}{3}\approx301^\circ\)

Ilma pealkirjata Text

Kokkkuvõte

Ilma pealkirjata Text

\(a<0,\;b>0\)

\(\color{blue}{\varphi=\pi-\arctan\left|\displaystyle\frac{b}{a}\right|}\)

Ilma pealkirjata Text

\(a>0,\;b>0\)

\(\color{blue}{\varphi=\arctan\left|\displaystyle\frac{b}{a}\right|}\)

Ilma pealkirjata Text

Harjuta

Ilma pealkirjata Fill in the Blanks

Leia arvu \(z=1+7i\) argument radiaanides sajandiku täpsusega.

Q: \(\varphi=\)[...] rad
A: 1,42/1.42
Feedback (0 to 100%): Lahendus: \(\varphi=\arctan \left| \frac{7}{1}\right| \approx1,42 rad\)

Ilma pealkirjata Text

\(a<0,\;b<0\)

\(\color{blue}{\varphi=\pi+\arctan\left|\displaystyle\frac{b}{a}\right|}\)

Ilma pealkirjata Text

\(a>0,\;b<0\)

\(\color{blue}{\varphi=2\pi-\arctan\left|\displaystyle\frac{b}{a}\right|}\)

Ilma pealkirjata Fill in the Blanks

Leia arvu \(z=-4+3i\) argument täiskraadides.

Q: \(\varphi=\)[...]\(^\circ\)
A: 143
Feedback (0 to 100%): Lahendus: \(\varphi=\pi-\arctan \left| \frac{3}{-4}\right| =180^\circ -\arctan \frac{3}{4} \approx143^\circ\)

Ilma pealkirjata Fill in the Blanks

Leia arvu \(z=-6-i\) argument radiaanides sajandiku täpsusega.

Q: \(\varphi=\)[...] rad
A: 3,31/3.31
Feedback (0 to 100%): Lahendus: \(\varphi=\pi+\arctan \left| \frac{-1}{-6}\right| \approx 6,28+\arctan \frac{1}{6} \approx3,31rad\)

Ilma pealkirjata Fill in the Blanks

Leia arvu \(z=4-9i\) argument täiskraadides.

Q: \(\varphi=\)[...]\(^\circ\)
A: 294
Feedback (0 to 100%): Lahendus: \(\varphi=2\pi-\arctan \left| \frac{-9}{4}\right| =360^\circ-\arctan \frac{9}{4} \approx294^\circ\)

Ilma pealkirjata Text

Märkus. Samad valemid kraadides on siin