Title: TTK-022-TUT-ET

Ilma pealkirjata Text

Kompleksarvu trigonomeetriline kuju

Ilma pealkirjata Text

Meenuta, et avaldist \(a+bi\) nimetatakse kompleksarvu algebraliseks kujuks

Ilma pealkirjata Text

Teame, et kompleksarvu \(\color{blue} {z = a + b i}\)  võib vaadelda kui reaalarvude paari \(\color{blue} {(a;b)}\) või siis reaalarvude paari \(\color{blue} {(r, \varphi)}\)

Ilma pealkirjata Text

Kompleksarvu \(z\) trigonomeetriline kuju:

Ilma pealkirjata Text

\(\color{blue} {z=r(\cos \varphi+i\sin \varphi)}\),  kus \(\color{blue}{r}\) on moodul ja \(\color{blue}{\varphi}\) on argument

Ilma pealkirjata Text

Harjuta

Ilma pealkirjata Text

Valemid on siin             kraadides  radiaanides

Ilma pealkirjata Text

1

Ilma pealkirjata Fill in the Blanks

Esita \(z=\sqrt{3}+i\) trigonomeetrilisel kujul \(\color{blue} {z=r(\cos \varphi+i\sin \varphi)}\).

Q: \(r=\)[...]

\(\varphi=\)[...]kraadi
A: 2; 30
Feedback (0 to 100%): Lahendus: \(r = \left|z\right| = \sqrt{(\sqrt{3})^2+1^2} = \sqrt{4} = 2; \varphi=\arctan \left| \frac{1}{\sqrt{3}}\right| =30^\circ\)

Ilma pealkirjata Text

Näide. Viia kompleksarv \(z=1-i\)  trigonomeetrilisele kujule.

Ilma pealkirjata Text

2

Ilma pealkirjata Fill in the Blanks

Esita \(z=1-i\sqrt{3}\) trigonomeetrilisel kujul \(\color{blue} {z=r(\cos \varphi+i\sin \varphi)}\).

Q: \(r=\)[...]

\(\varphi=\)[...]kraadi
A: 2; 300
Feedback (0 to 100%): Lahendus: \(r = \left|z\right| = \sqrt{1^2+(-\sqrt{3})^2} = \sqrt{4} = 2; \varphi=2\pi-\arctan \left| -\sqrt{3}\right| =300^\circ\)

Ilma pealkirjata Text

Lahendus. Siin \(a=1, b=-1, r=\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{2}\)

Ilma pealkirjata Text

Kompleksarv asub IV-s veerandis, kuna \(a=1\) ja \(b=-1\). Seega

Ilma pealkirjata Text

\(\varphi=360^\circ-\arctan\left|\displaystyle\frac{-1}{1}\right|=360^\circ-45^{\circ}=315^{\circ}\)

Ilma pealkirjata Text

Vastus: \(z=\sqrt{2}(\cos315^{\circ}+i\sin315^{\circ})\)  vt joonist

Ilma pealkirjata Text

Kompleksarvu trigonomeetriline kuju. Näited

Ilma pealkirjata Text

Harjuta

Ilma pealkirjata Text

Teisendame antud kompleksarvud trigonomeetriliseks kujuks. Võtame ühe arvu igast veerandist.

arvu \(z\) trigonomeetriline kuju on \(\color{blue} {z=r(\cos \varphi+i\sin \varphi)}\),  kus \(\color{blue}{r}\) on moodul ja \(\color{blue}{\varphi}\) on argument

Ilma pealkirjata Text

1

Ilma pealkirjata Text

II veerand

Ilma pealkirjata Multiple Choice

Q: Arvu \(z=\sqrt{3}+i\) trigonomeetriline kuju on . . .
- \(2\left(\cos \displaystyle \frac{\pi }{6}+i\sin \displaystyle \frac{\pi \:}{6}\right)\) (correct)
- \(4\left(\cos \displaystyle \frac{\pi }{3}+i\sin \displaystyle \frac{\pi \:}{3}\right)\)
- \(2\left(\cos \displaystyle \frac{\pi }{3}+i\sin \displaystyle \frac{\pi \:}{3}\right)\)
- \(4\left(\cos \displaystyle \frac{2\pi }{3}+i\sin \displaystyle \frac{2\pi \:}{3}\right)\)
Feedback (0 to 100%): Lahendus: \(r = \left|z\right| = \sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2} = \sqrt{4} = 2; \varphi=\arctan \left| \frac{1}{\sqrt{3}}\right| =\frac{\pi}{6}\\ z= 2\left(\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)\right)\)

Ilma pealkirjata Text

I veerand

Ilma pealkirjata Text

\(z=-\sqrt{3}+i\)

Ilma pealkirjata Text

\(z=2+3i\)

Ilma pealkirjata Multiple Choice

Q: Arvu \(z=-1+i\) trigonomeetriline kuju on . . .
- \(\sqrt{2}\left(\cos \displaystyle \frac{3\pi }{4}+i\sin \displaystyle  \frac{3\pi \:}{4}\right)\) (correct)
- \(\sqrt{3}\left(\cos \displaystyle \frac{3\pi }{2}+i\sin \displaystyle  \frac{3\pi \:}{2}\right)\)
- \(2\left(\cos \displaystyle \frac{3\pi }{4}-i\sin \displaystyle  \frac{3\pi \:}{4}\right)\)
- \(2\left(\cos \displaystyle \frac{2\pi }{3}+i\sin \displaystyle  \frac{2\pi \:}{3}\right)\)
Feedback (0 to 100%): Lahendus: \(r = \left|z\right| = \sqrt{(-1)^2+1^2} = \sqrt{2}; \varphi=\pi-\arctan \left| \frac{1}{-1}\right| =\pi-\frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}\\ z= \sqrt{2}\left(\cos\left(\frac{2\pi}{4}\right)+i\sin\left(\frac{3\pi}{4}\right)\right)\)

Ilma pealkirjata Text

2

Ilma pealkirjata Text

\(a=-\sqrt{3}, b=1 \rightarrow\)  II veerand

Ilma pealkirjata Text

Joonis

Ilma pealkirjata Text

\(a=2, b=3 \rightarrow\)  I veerand

Ilma pealkirjata Text

\(r=\sqrt{\left(-\sqrt{3}\right)^2+1^2}=\sqrt{4}=2\)

Ilma pealkirjata Text

3

Ilma pealkirjata Multiple Choice

Q: Arvu \(z=-3-\sqrt{3}i\) trigonomeetriline kuju on . . .
- \(\sqrt{12}\left(\cos 210^{\circ }+i\sin 210^{\circ }\right)\) (correct)
- \(\sqrt{12}\left(\cos 150^{\circ }+i\sin 150^{\circ }\right)\)
- \(\sqrt{9}\left(\cos 210^{\circ }+i\sin 210^{\circ }\right)\)
- \(\sqrt{9}\left(\cos 330^{\circ }+i\sin 330^{\circ }\right)\)
Feedback (0 to 100%): Lahendus: \(r = \left|z\right| = \sqrt{(-3)^2+(-\sqrt3)^2} = \sqrt{12}; \varphi=\pi+\arctan \left| \frac{-\sqrt3}{-3}\right| =\pi+30^\circ = 210^\circ\\ z= \sqrt{12}\left(\cos\left(210^\circ\right)+i\sin\left(210^\circ\right)\right)\)

Ilma pealkirjata Text

\(r=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}\)

Ilma pealkirjata Text

Joonis

Ilma pealkirjata Text

\(\varphi=\pi-\arctan\left|\displaystyle\frac{1}{-\sqrt{3}}\right|=\pi -\displaystyle \frac{\pi }{6}=\displaystyle \frac{5\pi \:}{6}\)

Ilma pealkirjata Text

\(\varphi=\arctan\left|\displaystyle\frac{3}{2}\right|\approx0,96\) rad

Ilma pealkirjata Text

4

Ilma pealkirjata Multiple Choice

Q: Arvu \(z=8\sqrt{3}-8i\) trigonomeetriline kuju on . . .
- \(16\left(\cos 330^{\circ }+i\sin 330^{\circ }\right)\) (correct)
- \(8\left(\cos 330^{\circ }+i\sin 330^{\circ }\right)\)
- \(\sqrt{8}\left(\cos 310^{\circ }+i\sin 310^{\circ }\right)\)
- \(24\left(\cos 315^{\circ }+i\sin 315^{\circ }\right)\)
Feedback (0 to 100%): Lahendus: \(r = \left|z\right| = \sqrt{(8\sqrt3)^2+(-8)^2} = 16; \varphi=360^\circ-\arctan \left| \frac{-1}{\sqrt3}\right| =360^\circ-30^\circ = 330^\circ\\ z= 16\left(\cos\left(330^\circ\right)+i\sin\left(330^\circ\right)\right)\)

Ilma pealkirjata Text

\(z=2(\cos\displaystyle \frac{5\pi \:}{6}+i\sin\displaystyle \frac{5\pi \:}{6})\)

Ilma pealkirjata Text

\(\varphi=180^\circ-arctan\left|\displaystyle\frac{1}{-\sqrt{3}}\right|=180^\circ-30^{\circ}=150^{\circ}\)

\(z=2(\cos150^{\circ}+i\sin150^{\circ})\)

Ilma pealkirjata Text

Kraadides

Ilma pealkirjata Text

\(z=\sqrt{13}(\cos0,96+i\sin0,96)\)

Ilma pealkirjata Text

\(\varphi=\arctan\left|\displaystyle\frac{3}{2}\right|\approx56,3^{\circ }\)

\(z=\sqrt{13}(\cos56,3^{\circ }+i\sin56,3^{\circ })\)

Ilma pealkirjata Text

Kraadides

Ilma pealkirjata Text

III veerand

Ilma pealkirjata Text

IV veerand

Ilma pealkirjata Text

\(z=-2-2i\)

\(a=-2, b=-2 \rightarrow\)  III veerand

\(r=\sqrt{\left(-2\right)^2+\left(-2\right)^2}=\sqrt{8}\)

Ilma pealkirjata Text

\(z=4-2i\)

Ilma pealkirjata Text

\(a=4, b=-2 \rightarrow\)  IV veerand

Ilma pealkirjata Text

\(r=\sqrt{2^2+(-2)^2}=\sqrt{20}\)

Ilma pealkirjata Text

Joonis

Ilma pealkirjata Text

Joonis

Ilma pealkirjata Text

\(\varphi=360^\circ-arctan\left|\displaystyle\frac{-2}{4}\right| \approx 360^\circ-26,57^{\circ}=333,43^{\circ}\)

Ilma pealkirjata Text

\(\varphi=180^\circ+\arctan\left|\displaystyle\frac{-2}{-2}\right|=180^\circ+45^{\circ}=225^{\circ}\)

Ilma pealkirjata Text

\(z=\sqrt{20}(\cos333,43^{\circ}+i\sin333,43^{\circ})\)

Ilma pealkirjata Text

Lahenduskäik radiaanides:

\(\varphi=2\pi -\arctan\left|\displaystyle\frac{-2}{4}\right| \approx 2\pi- 0,46 \approx 6,28-0,46=5,82\;\text{rad}\)

\(z=\sqrt{20}(\cos5,82+i\sin5,82)\)

Ilma pealkirjata Text

Radiaanides

Ilma pealkirjata Text

Radiaanides

Ilma pealkirjata Text

Lahenduskäik radiaanides:

\(\varphi=\pi -\arctan\left|\displaystyle\frac{-2}{-2}\right|=\pi+\frac{\pi }{4}=\frac{5\pi }{4}\)

\(z=\sqrt{8}(\cos\frac{5\pi }{4}+i\sin\frac{5\pi }{4})\)

Ilma pealkirjata Text

\(z=\sqrt{8}(\cos225^{\circ}+i\sin225^{\circ})\)