Title: TTK-023-TUT-ET

Ilma pealkirjata Text

Kompleksarvude korrutamine trigonomeetrilisel kujul

Ilma pealkirjata Text

Olgu antud kaks kompleksarvu trigonomeetrilisel kujul:

\(z_{1}=r_{1}\left( \cos \varphi _{1}+i\sin \varphi _{1}\right)\)

\(z_{2}=r_{2}\left( \cos \varphi _{2}+i\sin \varphi _{2}\right)\)

Ilma pealkirjata Text

Siis kahe kompleksarvu korrutamise kohta kehtib järgmine reegeel: moodulid korrutatakse ja argumendid liidetakse:

Ilma pealkirjata Text

\(z_{1}z_{2}=r_{1}r_{2}\left( \cos \left( \varphi _{1}+\varphi _{2}\right) +i\sin \left( \varphi _{1}+\varphi _{2}\right) \right)\)

Ilma pealkirjata Text

Näide 1.

Ilma pealkirjata Text

Näide 3.

Ilma pealkirjata Text

Näide 2.

Ilma pealkirjata Text

\(z_{1}=2\left( \cos 76^{\circ }+i\sin 76^{\circ }\right)\)

\(z_{2}=\frac{1}{3}\left( \cos 38^{\circ }+i\sin 38^{\circ }\right)\)

Ilma pealkirjata Text

\(z_{1}=2\left( \cos \frac{\pi }{4}+i\sin \frac{\pi }{4}\right)\)

\(z_{2}=4\left( \cos \frac{\pi }{6}+i\sin \frac{\pi }{6}\right)\)

Ilma pealkirjata Text

\(z_{1}=9\left( \cos 30^{\circ }+i\sin 30^{\circ }\right)\)

\(z_{2}=2\left( \cos \frac{\pi }{4}+i\sin \frac{\pi }{4}\right)\)

Ilma pealkirjata Text

\(z_{1}z_{2}=18(\cos 75^{\circ }+i\sin 75^{\circ })\)

Ilma pealkirjata Text

\(z_{1}z_{2}=8\left( \cos \frac{5\pi }{12}+i\sin \frac{5\pi }{12}\right)\)

Ilma pealkirjata Text

\(z_{1}z_{2}=\frac{2}{3}\left( \cos 114^{\circ }+i\sin 114^{0}\right)\)

Ilma pealkirjata Text

\(30^{0}+\frac{\pi }{4}=30^{0}+\frac{180^{0}}{4}=30^{\circ }+45^{0}= 75^{0}\)

\(30^{\circ }+\frac{\pi }{4}=30\cdot \frac{\pi }{180^{\circ }}+\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{6}+\frac{\pi }{4}=\frac{5\pi }{12}\)

Ilma pealkirjata Text

\(\frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{6}=\frac{6\pi +4\pi }{24}=\frac{10\pi }{24}=\frac{5\pi }{12}\)

Ilma pealkirjata Text

\(2\cdot \frac{1}{3}=\frac{2}{3}\)

\(76^{\circ }+38^{\circ }=114^{\circ }\)

Ilma pealkirjata Fill in the Blanks

\(z_1=\frac{1}{2}(\cos135^\circ+i\sin135^\circ)\)     ja  \(z_2=2(\cos45^\circ+i\sin45^\circ)\)

Q: \(z_1z_2=\) [...]
A: -1
Feedback (0 to 100%): Lahendus: \(z_1\cdot z_2=\frac{1}{2}\cdot2(\cos(135^\circ+45^\circ)+i\sin(135^\circ+45^\circ)=(\cos180^\circ+i\sin180^\circ)=-1\)

Ilma pealkirjata Text

Lihtsusta vastused! Vihje:

Ilma pealkirjata Text

Näide: \(4\left( \cos 90^{\circ }+i\sin 90^{\circ }\right) =4\left( 0+i\cdot 1\right) =4\cdot i=4i\)

Ilma pealkirjata Fill in the Blanks

\(z_1=2(\cos\frac{\pi }{12}+i\sin\frac{\pi }{12})\) ja \(z_2=6(\cos\frac{5\pi }{12}+i\sin\frac{5\pi }{12})\)

Q: \(z_1z_2=\) [...]
A: 12i
Feedback (0 to 100%): Lahendus:  \(z_1\cdot z_2=2\cdot6\left(\cos\left(\frac{\pi }{12}+\frac{5\pi}{12}\right)+i\sin\left(\frac{\pi }{12}+\frac{5\pi}{12}\right)\right)=12\left(\cos\frac{\pi }{2}+i\sin\frac{\pi }{2}\right)=12i\)

Ilma pealkirjata Fill in the Blanks

\(z_1=3(\cos100^{\circ }+i\sin100^{\circ })\)  ja \(z_2=10(\cos\frac{4\pi }{9}+i\sin\frac{4\pi }{9})\)

Q: \(z_1z_2=\) [...]
A: -30
Feedback (0 to 100%): Lahendus: \( z_2=10\left(\cos\frac{4\pi }{9}+i\sin\frac{4\pi }{9}\right)=10\left(\cos\frac{4\cdot180^\circ}{9}+i\sin\frac{4\cdot180^\circ}{9}\right)=10\left(\cos80^\circ+i\sin80^\circ\right)\\ z_1\cdot z_2=10\cdot3(\cos180^\circ+i\sin180^\circ)=-30\)