Title: TTK-024-TUT-ET

Ilma pealkirjata Text

Kompleksarvude jagamine trigonomeetrilisel kujul

Ilma pealkirjata Text

Olgu antud kaks kompleksarvu trigonomeetrilisel kujul:

\(z_{1}=r_{1}\left( \cos \varphi _{1}+i\sin \varphi _{1}\right)\)

\(z_{2}=r_{2}\left( \cos \varphi _{2}+i\sin \varphi _{2}\right)\)

Ilma pealkirjata Text

Harjuta

Ilma pealkirjata Text

Siis kahe kompleksarvu jagamise kohta kehtib järgmine reegeel:

jagamisel moodulid jagatakse ja argumendid lahutatakse,

Ilma pealkirjata Fill in the Blanks

\(z_1=4(\cos45^\circ+i\sin45^\circ)\) ja \(z_2=2(\cos45^\circ+i\sin45^\circ)\)

Q: \(\frac{z_1}{z_2}=\) [...]
A: 2
Feedback (0 to 100%): Lahendus: \(\frac{z_1}{z_2}=\frac42(\cos(45^\circ-45^\circ)+i\sin(45^\circ-45^\circ)) = 2(\cos0^\circ+i\sin0^\circ)=2\)

Ilma pealkirjata Text

1

Ilma pealkirjata Text

\(\displaystyle \frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2}(\cos(\varphi _{1}-\varphi _{2})+i\sin(\varphi _{1}-\varphi _{2}))\)

Ilma pealkirjata Multiple Choice

Q: \(z_{1}=2\left( \cos \frac{\pi }{4}+i\sin \frac{\pi }{4}\right)\)

\(z_{2}=4\left( \cos \frac{\pi }{6}+i\sin \frac{\pi }{6}\right)\)

\(\frac{z_{1} }{z_{2}}=\) . . .
- \(\frac{1}{2}\left( \cos \frac{\pi }{12}+i\sin \frac{\pi }{12}\right)\) (correct)
- \(2\left( \cos \frac{3\pi }{12}+i\sin \frac{3\pi }{12}\right)\)
- \(\frac{1}{6}\left( \cos \frac{\pi }{12}+i\sin \frac{\pi }{12}\right)\)
- \(4\left( \cos \frac{5\pi }{12}+i\sin \frac{5\pi }{12}\right)\)
Feedback (0 to 100%): Lahendus: \(\frac{z_1}{z_2}=\frac24\left( \cos \left(\frac{\pi }{4}-\frac{\pi}{6}\right)+i\sin\left( \frac{\pi }{4}-\frac{\pi}{6}\right)\right)=\frac12\left(\cos\frac{\pi}{12}+i\sin\frac{\pi}{12}\right)\)

Ilma pealkirjata Text

2

Ilma pealkirjata Text

Näide 1.

Ilma pealkirjata Text

\(\displaystyle z_1=\frac{1}{4}(\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2})\)        \(\displaystyle z_2=5(\cos36^\circ+i\sin36^\circ)\)

Ilma pealkirjata Text

Teisendame \(36^\circ\) radiaanideks:

\(\displaystyle 1^\circ = \frac{\pi}{180}\)   =>   \(\displaystyle 36^\circ = \frac{36\pi}{180}= \frac{\pi}{5}\)

Võime teisendada mõlemad nurgad ka kraadideks. See on tavaliselt lahendajal otsustada, kui ülesandes pole teisiti öeldud.

Ilma pealkirjata Text

\(\displaystyle \frac{z_1}{z_2}=\frac{\frac{1}{4}(\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2})}{5(\cos\frac{\pi}{5}+i\sin\frac{\pi}{5})}=\frac{1}{20}\Big(\cos\big(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{5}\big)+i\sin\big(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{5}\big)\Big)=\displaystyle \frac{1}{20}\big(\cos\frac{3\pi}{10}+i\sin\frac{3\pi}{10}\big)\)

Ilma pealkirjata Text

Harjuta 1

Ilma pealkirjata Text

Harjuta 2

Ilma pealkirjata Fill in the Blanks

\(z_1=0,5(\cos45^\circ+i\sin45^\circ)\)

 \(z_2=0,25(\cos15^\circ+i\sin15^\circ)\)

Q: \(\displaystyle \frac{z_1}{z_2}=\sqrt{A}+B\)

NB! Anne vastus võimalikult lihtsustatud kujul. Näiteks, kui vastusesse jääb \(\cos 60^{\circ }\), siis asenda seda \(0,5\)-ga, jne.

\(A=\)[...]

\(B=\)[...]
A: 3; i
Feedback (0 to 100%): Lahendus: \(\frac{z_1}{z_2}\!=\!\frac{0,5}{0,25}(\cos(45^\circ\!\!-\!15^\circ)\!+\!i\sin(45^\circ\!\!-\!15^\circ))\!=\hskip2cm\) \(=\!2(\cos30^\circ\!+\!i\sin30^\circ)\!=\!2(\frac{\sqrt3}{2}\!+\!i\frac12)\!=\) \(=\sqrt3+i, A=3, B=i\)

Ilma pealkirjata Fill in the Blanks

Millega võrdub jagatis?

 \(\displaystyle \frac{4(\cos(\frac{3\pi}{4})+i\sin(\frac{3\pi}{4}))}{2(\cos(\frac{\pi}{4})+i\sin(\frac{\pi}{4}))}=  . . . \)

Q: NB! Anna vastus võimalikult lihtsustatud kujul. Näiteks, kui vastusesse jääb \(\cos 60^{\circ }\), siis asenda seda \(0,5\)-ga, jne.

 . . . .\(=\) [...]
A: 2i
Feedback (0 to 100%): Lahendus: \(\frac42\left(\cos\left(\frac{3\pi}{4}-\frac{\pi}{4}\right)+i\sin\left(\frac{3\pi}{4}-\frac{\pi}{4}\right)\right)=\\=2\left(\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}\right)=2i\\\)