Title: Irratsionaalse algebralise murru taandamine/TEOORIA. NÄITED

Ilma pealkirjata Text

Credits: licence CC BY-SA 4.0

Irratsionaalse algebralise murru taandamine

Irratsionaalse algebralise murru taandamisel (nagu ka ratsionaalse murru taandamisel) tegutsetakse järgmiselt:
1) tegurdatakse murru lugejas ja nimetajas olevad avaldised,
2) taandatakse lugeja ja nimetaja arvulised tegurid,
3) taandatakse muutujat sisaldavad võrdsed tegurid.

Peame meeles!
Taandama saab asuda alles siis, kui murru lugeja ja nimetaja on tegurdatud, s.t esitatud korrutise kujul.

Vajadusel saad korrata tegurdamise võtteid siin.

Lahendades eeldame, et tähtedel on avaldistes vaid sellised väärtused, mille korral kõik juuritavad ja vastavad juured on mittenegatiivsed.

Näide 1

Taandada murrud.

a) $$\dfrac{2}{\sqrt{2}}=\require{cancel}\dfrac{\cancel{\sqrt{2}}^1\cdot \sqrt{2}}{\cancel{\sqrt{2}}^1}=\sqrt{2}$$

b) $$\dfrac{x-1}{\sqrt{x}-1}=\require{cancel}\dfrac{\cancel{(\sqrt{x}-1)^1}(\sqrt{x}+1)}{\cancel{\sqrt{x}-1}^1}=\sqrt{x}+1$$

c) $$\dfrac{x-y}{\sqrt[3]{x-y}}=\dfrac{\left(\sqrt[3]{\left(x-y\right)}\right)^3}{\sqrt[3]{\left(x-y\right)}}=\sqrt[3]{\left(x-y\right)^2}$$

d) $$\dfrac{b^2a-b}{\sqrt{b}-b\sqrt{a}}=\dfrac{b\left(ba-1\right)}{\sqrt{b}\left(1-\sqrt{ba}\right)}=\require{cancel}\dfrac{\cancel{b}^{\sqrt{b}}\cancel{(\sqrt{ba}-1)}^{-1}(\sqrt{ba}+1)}{\cancel{\sqrt{b}}^1\cancel{(1-\sqrt{ba})}^1}=-\sqrt{b}\left(\sqrt{ab}+1\right)=-b\sqrt{a}-\sqrt{b}$$

e) $$\dfrac{\sqrt{10}+\sqrt{14}}{\sqrt{77}+\sqrt{55}}=\dfrac{\sqrt{2}\cdot \sqrt{5}+\sqrt{2}\cdot \sqrt{7}}{\sqrt{7}\cdot \sqrt{11}+\sqrt{5}\cdot \sqrt{11}}=\require{cancel}\dfrac{\sqrt{2}(\cancel{\sqrt{5}+\sqrt{7})}^1}{\sqrt{11}(\cancel{\sqrt{7}+\sqrt{5})}^1}=\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{11}}$$

Harjuta!

Q: Taanda murrud.

a) Kui $$\dfrac{\sqrt{12}-3}{2-\sqrt{3}}=\sqrt{X}$$, siis $$X=$$[...].

b) Kui $$\dfrac{n-m}{4\sqrt{m}+4\sqrt{n}}=\dfrac{\sqrt{A}-\sqrt{B}}{C}$$, siis $$A=$$[...], $$B=$$[...], $$C=$$[...].
A: 3; n; m; 4

Ilma pealkirjata Text

Näide 2

Taandada murrud.

a) $$\dfrac{x+y}{\sqrt[3]{x^2}-\sqrt[3]{xy}+\sqrt[3]{y^2}}=\dfrac{\left(\sqrt[3]{x}\right)^3+\left(\sqrt[3]{y}\right)^3}{\sqrt[3]{x^2}-\sqrt[3]{xy}+\sqrt[3]{y^2}}=\require{cancel}\dfrac{(\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y})\cdot \cancel{(\sqrt[3]{x^2}-\sqrt[3]{xy}+\sqrt[3]{y^2})}^1}{\cancel{\sqrt[3]{x^2}-\sqrt[3]{xy}+\sqrt[3]{y^2}}^1}=\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}$$

b) $$\dfrac{\left(4\sqrt{x}-3y\right)^2}{64x\sqrt{x}-27y^3}=\require{cancel}\dfrac{\cancel{(4\sqrt{x}-3y)^2}^{4\sqrt{x}-3y}}{\cancel{(4\sqrt{x}-3y)}^1(16x-12y\sqrt{x}+9y^2)}=\dfrac{4\sqrt{x}-3y}{16x-12y\sqrt{x}+9y^2}$$

c) $$\dfrac{m-n-1}{\sqrt{m}-\sqrt{n+1}}=\dfrac{\left(\sqrt{m}\right)^2-\left(\sqrt{n+1}\right)^2}{\sqrt{m}-\sqrt{n+1}}=\dfrac{\left(\sqrt{m}-\sqrt{n+1}\right)\cdot \left(\sqrt{m}+\sqrt{n+1}\right)}{\sqrt{m}-\sqrt{n+1}}=\sqrt{m}+\sqrt{n+1}$$

Harjuta!

Q: Taanda murd.

$$\dfrac{4-4c}{\sqrt[3]{c^2}+\sqrt[3]{c}+1}=X-Y\sqrt[3]{c}$$

$$X=$$[...], $$Y=$$[...]
A: 4; 4