Title: Irratsionaalavaldiste tegurdamine/TEOORIA. NÄITED

Ilma pealkirjata Text

Credits: licence CC BY-SA 4.0

Irratsionaalavaldiste tegurdamine

Irratsionaalavaldiste, nagu ka ratsionaalavaldiste lihtsustamisel tuleb algebraliste murdude taandamisel ja ühenimeliseks teisendamisel avaldisi tegurdada. Juuravaldiste tegurdamisel saame kasutada sulgude ette toomist, korrutamise abivalemeid ja rühmitamist.

Toome näiteid.

1. Ühise teguri sulgude ette toomine

Näide 1

Tegurdada.

$$\sqrt{21}-\sqrt{14}=\sqrt{3}\cdot \sqrt{7}-\sqrt{2}\cdot \sqrt{7}=\sqrt{7}\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)$$

$$x\sqrt{x}-\sqrt{3x}=x\sqrt{x}-\sqrt{3}\cdot \sqrt{x}=\sqrt{x}\left(x-\sqrt{3}\right)$$

$$\sqrt{c-d}+\sqrt{c^2-d^2}=\sqrt{c-d}+\sqrt{c-d}\cdot \sqrt{c+d}=\sqrt{c-d}\left(1+\sqrt{c+d}\right)$$

$$m+3-\sqrt{m+3}=\left(\sqrt{m+3}\right)^2-\sqrt{m+3}=\sqrt{m+3}\left(\sqrt{m+3}-1\right)$$

Harjuta!

Q: Tegurda.

Kui $$\sqrt{22}-\sqrt{11}=\sqrt{A}\left(\sqrt{2}-B\right)$$, siis $$A=$$[...] ja $$B=$$[...].

Kui $$\sqrt[3]{xy^2}-\sqrt[3]{x^2y}=\sqrt[3]{xy}\left(\sqrt[3]{K}-\sqrt[3]{L}\right)$$, siis $$K=$$[...] ja $$L=$$[...].
A: 11; 1; y; x

Ilma pealkirjata Text

2. Korrutamise abivalemite kasutamine

Näide 2

Tegurdada. Korrutise abivalemeid juuravaldiste tegurdamisel kasutame kujul:

$$\color{blue} {a-b=\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}$$

$$\color{blue} {a\pm 2\sqrt{ab}+b=\left(\sqrt{a}\pm \sqrt{b}\right)^2}$$

$$\color{blue} {a\sqrt{a}\pm b\sqrt{b}=\left(\sqrt{a}\right)^3\pm \left(\sqrt{b}\right)^3=\left(\sqrt{a}\pm\sqrt{b}\right)\left(a\mp\sqrt{ab}+b\right)}$$

$$\color{blue} {\left(\sqrt{a}\pm \sqrt{b}\right)^{^3}=a\sqrt{a}\pm 3a\sqrt{b}+3\sqrt{a}\;b\pm b\sqrt{b}}$$

Näide 2

Tegurdada.

$$\sqrt[5]{a^4b}-8\sqrt[5]{a^3}=\sqrt[5]{a^3}\cdot \sqrt[5]{ab}-8\sqrt[5]{a^3}=\sqrt[5]{a^3}\left(\sqrt[5]{ab}-8\right)$$

$$2m-12\sqrt{m}=2\left(\sqrt{m}\right)^2-12\sqrt{m}=2\sqrt{m}\left(\sqrt{m}-12\right)$$

$$3p-16q=\left(\sqrt{3p}\right)^2-\left(4\sqrt{q}\right)^2=\left(\sqrt{3p}-4\sqrt{q}\right)\left(\sqrt{3p}+4\sqrt{q}\right)$$

$$x-y=\left(\sqrt{x}\right)^2-\left(\sqrt{y}\right)^2=\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)$$

$$x+y=\left(\sqrt[3]{x}\right)^3+\left(\sqrt[3]{y}\right)^3=\left(\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}\right)\left(\sqrt[3]{x^2}-\sqrt[3]{xy}+\sqrt[3]{y^2}\right)$$

$$64-a=4^3-\left(\sqrt{a}\right)^3=\left(4-\sqrt{a}\right)\left(16+4\sqrt{a}+a\right)$$

Rohkem näiteid leiad õppevideost.

Harjuta!

Q: Tegurda.

1) Kui $$x-10=\left(\sqrt{x}-\sqrt{A}\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{A}\right)$$, siis $$A=$$[...].

2) Täida lüngad: $$9a+24\sqrt{a}+16=($$[...]$$\sqrt{a}+$$[...]$$)^2$$.

3) Kui $$x-27=\left(\sqrt[3]{x}-3\right)\left(\sqrt[3]{x^K}+N\sqrt[3]{x}+U\right)$$, siis $$K=$$[...], $$N=$$[...], $$U=$$[...].
A: 10; 3; 4; 2; 3; 9

Ilma pealkirjata Text

3. Rühmitamisvõte

Tuletame meelde, et rühmitamisvõtte nimetus tuleb sellest, et avaldis jaotatakse rühmadeks nii, et pärast ühise teguri sulgude ette toomist jääb igas rühmas sulgudesse üks ja sama avaldis. See avaldis on omakorda ühiseks teguriks. Ka juuravaldiste tegurdamisel saab seda meetodit kasutada.

Näide 3

Tegurdada.

a) $$6a^2\sqrt{b}-8a-3ab+4\sqrt{b}=\color{blue} {6a^2\sqrt{b}}-\color{blue} {3ab}-\color{orange} {8a}+\color{orange} {4\sqrt{b}}=$$

$$=\color{blue} {3a\sqrt{b}\left(2a-\sqrt{b}\right)}-\color{orange} {4\left(2a-\sqrt{b}\right)}=\left(3a\sqrt{b}-4\right)\left(2a-\sqrt{b}\right)$$

b) $$\sqrt{3}m+m\sqrt{3m}-n^2\sqrt{m}-mn^2=\sqrt{m}\left(\sqrt{3m}+m\sqrt{3}-n^2-n^2\sqrt{m}\right)=\sqrt{m}\left[\sqrt{3m}\left(1+\sqrt{m}\right)-n^2\left(1+\sqrt{m}\right)\right]=$$

   $$=\sqrt{m}\left[\left(1+\sqrt{m}\right)\cdot \left(\sqrt{3m}-n^2\right)\right]=\sqrt{m}\left(1+\sqrt{m}\right)\left(\sqrt{3m}-n^2\right)$$

Harjuta!

Q: Tegurda.

$$-2a+3a\sqrt{a}-\sqrt{a}=(\sqrt{a}-$$[...]$$)(\sqrt{a}+$$[...]$$)$$

$$n\sqrt{n}+4n-2\sqrt{n}-8=($$[...]$$)(\sqrt{n}+$$[...]$$)$$
A: 1; 3a; n-2/-2+n; 4