Title: Tehted algebraliste murdudega/TEOORIA. NÄITED

Ilma pealkirjata Text

Credits: licence CC BY-SA 4.0

Algebraline murd

Täisavaldiseks nimetatakse avaldist, mis ei sisalda muutujat jagajas.

Näiteks:

$$2a+3b$$, $$\dfrac{x^2-2}{5}$$, $$\left(2x-y\right)^3-x\left(5+y\right)$$.

Avaldist kujul $$\dfrac{a}{b}$$, kus $$a$$ ja $$b$$ tähistavad täisavaldisi, nimetatakse algebraliseks murruks.

Näiteks:

$$\dfrac{3}{m-10},\:\dfrac{x+y^2}{x^5},\:\dfrac{p^4-4q+6}{p-q}$$.

Tehted algebraliste murdudega

1. Algebraliste murdude korrutamine

Algebraliste murdude korrutamisel tuleb iga murru lugeja ja nimetaja algul tegurdada (ehk esitada korrutisena) ja seejärel võimalusel taandada.

Näide 1

$$\dfrac{a^2b-4b^3}{3ab^2}\cdot \dfrac{a^2b}{a^2-2ab}=\dfrac{b\left(a^2-4b^2\right)}{3ab^2}\cdot \dfrac{a^2b}{a\left(a-2b\right)}=\dfrac{b\left(a-2b\right)\left(a+2b\right)}{3ab^2}\cdot \dfrac{a^2b}{a\left(a-2b\right)}=$$

$$=\require{cancel}\dfrac{\cancel{b}^1\cancel{(a-2b)^1}(a+2b)\cdot \:\cancel{a^2}^1\cancel{b}^1}{3\cancel{a}^1\cancel{b^2}^1\cdot \:\cancel{a}^1\cancel{(a-2b)}^1}\:=\dfrac{a+2b}{3}$$

Harjuta!

Q: $$\dfrac{a^2-25}{a^2-3a\:}\cdot \:\dfrac{a^2-9}{a^2+5a}=\dfrac{a^2-2a-Y}{a^X}$$

$$X=$$[...]

$$Y=$$[...]
A: 2; 15

Ilma pealkirjata Text

2. Algebraliste murdude jagamine

Algebraliste murdude jagamisel korrutatakse jagatav murruga, mis on saadud jagajast selle lugeja ja nimetaja vahetamise teel.

Näide 2

$$\dfrac{x-1}{\:x^2-4}:\dfrac{x^2-1}{x^2+x-6}=\dfrac{\left(x-1\right)\cdot \left(x^2+x-6\right)}{\left(\:x^2-4\right)\cdot \left(x^2-1\right)}=\require{cancel}\dfrac{\cancel{(x-1)}^1\cdot \left(x+3\right)\cdot \cancel{(x-2)}^1}{\cancel{(x-2)}^1\cdot \left(x+2\right)\cdot \cancel{(x-1)}^1\left(x+1\right)}=$$

$$=\dfrac{x+3}{\left(x+2\right)\left(x+1\right)}=\dfrac{x+3}{x^2+3x+2}$$

Harjuta!

Q: $$\dfrac{a^2+ab}{2a^2-2b^2}:\dfrac{2a^2-2ab}{4a^3-4b^3}=\dfrac{a^2+X+b^2}{Y}$$

$$X=$$[...]

$$Y=$$[...]
A: ab; a-b

Ilma pealkirjata Text

3. Algebraliste murdude astendamine.

Algebralise murru $$n$$-s aste ($$n$$ on naturaalarv) võrdub murruga, mille lugejaks on $$n$$-s aste ja nimetajaks antud murru nimetaja $$n$$-s aste.

Näide 3

$$\left(-\dfrac{x^2+2xy+y^2}{2a-b}\right)^2=\left[\dfrac{\left(x+y\right)^2}{2a-b}\right]^2=\dfrac{\left(x+y\right)^4}{\left(2a-b\right)^2}$$.

4. Algebraliste murdude liitmine ja lahutamine

4.1 Ühenimeliste murdude liitmine ja lahutamine

Ühenimelisi algebralisi murde liidetakse ja lahutatakse nii, nagu harilikke murde. Kehtib eeskiri:

$$\color{blue} {\dfrac{a}{b}\pm \dfrac{c}{b}=\dfrac{a\pm c}{\:b}}$$.

Näide 4

$$\dfrac{13b+8}{7b}-\dfrac{1-b}{7b}=\dfrac{13b+8-\left(1-b\right)}{7b}=\dfrac{14b+7}{7b}=\dfrac{7\left(2b+1\right)}{7b}=\dfrac{2b+1}{b}$$

Harjuta!

Q: $$\dfrac{a^2}{a+b}-\dfrac{b^2}{a+b}=$$[...]

$$\dfrac{x^2}{2y-3x}-\dfrac{10x^2-4y^2}{2y-3x}=Ax+B$$, $$A=$$[...], $$B=$$[...]
A: a-b; 3; 2y

Ilma pealkirjata Text

4.2 Erinimeliste murdude liitmine ja lahutamine

Erinimeliste algebraliste murdude liitmise ja lahutamise reegel:

murrud teisendatakse ühenimelisteks ning seejärel rakendatakse ühenimeliste murdude liitmise või lahutamise eeskirja.

Praktikas aga kasutame nelja kindlat sammu.

- Leiame kõigi murdude ühise nimetaja. Selleks tegurdame kõigi murdude nimetajad ja leiame nimetajate vähima ühiskordse, see tähendab vähima avaldise, mis jagub kõigi murdude nimetajatega.
- Leiame iga murru laiendaja. Laiendaja on selline avaldis, millega antud murru nimetajat tuleks korrutada, et saada ühist nimetajat. Laiendaja kirjutame murru kohale kaare sisse.
- Korrutame iga murru lugejat tema laiendajaga ja liidame (või lahutame) laiendatud murrud.
- Kui uues lugejas on sarnaseid liikmeid, siis tuleb need koondada. Võimaluse korral tegurdame lugeja ja taandame murru.

Näide 5

$$\dfrac{5}{\:x^2-8x+16}+\dfrac{6}{5x-20}=\dfrac{5^{(5}}{\left(x-4\right)^2}+\dfrac{6^{(x-4}}{5\left(x-4\right)}=\dfrac{5\cdot \:5+6\left(x-4\right)}{5\left(x-4\right)^2}=\dfrac{25+6x-24}{5\left(x-4\right)^2}=\dfrac{6x+1}{5\left(x-4\right)^2}$$

Näide 6

$$\dfrac{6}{x^2-9}-\dfrac{7}{2x^2-5x-3}=\dfrac{6^{(2x+1}}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}-\dfrac{7^{(x+3}}{\left(2x+1\right)\left(x-3\right)}=\dfrac{6\left(2x+1\right)-7\left(x+3\right)}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)\left(2x+1\right)}=\dfrac{12x+6-7x-21}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)\left(2x+1\right)}=$$

$$\dfrac{5x-15}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)\left(2x+1\right)}=\require{cancel}\dfrac{5\cancel{(x-3)}^1}{\cancel{(x-3)}^1\left(x+3\right)\left(2x+1\right)}=\dfrac{5}{\left(x+3\right)\left(2x+1\right)}=\dfrac{5}{2x^2+7x+3}$$

Harjuta!

Q: $$\dfrac{2}{s^2-1}-\dfrac{1}{s^2-s}=\dfrac{A}{s^2+B}$$

$$A=$$[...]

$$B=$$[...]
A: 1; s