Title: Ratsionaalarvulise astendajaga aste/TEORIA. NÄITED

Ilma pealkirjata Text

Credits: licence CC BY-SA 4.0

Ratsionaalarvulise astendajaga aste

Ratsionaalarvulise astendajaga aste defineeritakse võrdusega

$$\color{blue} {a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m},\:a>0, m\in \mathbb{Z}, n\in \mathbb{N}, n>1}$$.

Juhul, kui $$a=0$$, siis $$a^{\frac{m}{n}}=0$$.

Märkus. Kui ratsionaalarvulist astendajat mõista vaid taandatud murruna, siis paarituarvulise nimetaja korral on aste defineeritav ka sel juhul, kui astendatav on negatiivne.

Näide 1

$$7^{\frac{1}{2}}=\sqrt{7}$$

$$4^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{4^2}=\sqrt[3]{16}$$

$$32^{-\frac{1}{5}}=\dfrac{1}{32^{\frac{1}{5}}}=\dfrac{1}{\sqrt[5]{32}}=\dfrac{1}{2}$$

$$\left(-8\right)^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{\left(-8\right)^2}=\sqrt[3]{64}=4$$

$$\left(-7\right)^{\frac{5}{3}}=\sqrt[3]{\left(-7\right)^5}=-\sqrt[3]{7^5}=-7\sqrt[3]{49}$$

$$\left(x+y\right)^{0,6}=\left(x+y\right)^{\frac{6}{10}}=\left(x+y\right)^{\frac{3}{5}}=\sqrt[5]{\left(x+y\right)^3}$$

$$\left(3\frac{3}{8}\right)^{-\frac{1}{3}}=\left(\frac{27}{8}\right)^{-\frac{1}{3}}=\left(\frac{8}{27}\right)^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{\frac{8}{27}}=\frac{2}{3}$$

Harjuta!

Q: $$100^{\frac{1}{2}}=$$[...]

$$81^{\frac{3}{4}}=$$[...]

$$25^{-\frac{1}{2}}=$$[...]
A: 10; 27; 0,2
  Hint: Kirjuta kümnendmurruna.

Ilma pealkirjata Text

"Populaarsed astmed"

Ülesannetes sagedamini esinevad astmed (üldvalemi erijuhud) on

 $$\color{blue} {a^{\frac{1}{2}}=\sqrt{a}}$$  ja $$\color{blue} {a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}}$$.

Jäta need meelde!

Tehete järjekord

Vaatleme astet $$27^{\frac{2}{3}}$$.

Eespool toodud valemi järgi võime juure leida kahel viisil:

$$27^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{27^2}=\sqrt[3]{729}=9$$

või

$$27^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{27^2}=\left(\sqrt[3]{27}\right)^2=3^2=9$$

Kumb viis oli arvutamisel mugavam?

Harjuta!

Q: Leia astmed kalkulaatorit kasutamata.

$$8^{\frac{7}{3}}=$$[...]

$$0,125^{\frac{2}{3}}=$$[...]
A: 128; 0,25
  Hint: Kirjuta kümnendmurruna.

Ilma pealkirjata Text

Avaldiste väärtuste leidmine

Näide 3

Leiame avaldise $$\left(\dfrac{1}{16}\right)^{-0,75}+810000^{0,25}-\left(7\dfrac{19}{32}\right)^{\frac{1}{5}}$$ väärtuse.

Lahendus

1) $$\left(\dfrac{1}{16}\right)^{-0,75}=16^{0,75}=16^{\frac{3}{4}}=\sqrt[4]{16^3}=\left(\sqrt[4]{16}\right)^3=2^3=8$$

2) $$810000^{0,25}=810000^{\frac{1}{4}}=\sqrt[4]{810000}=30$$

3) $$\left(7\dfrac{19}{32}\right)^{\frac{1}{5}}=\left(\dfrac{243}{32}\right)^{\frac{1}{5}}=\sqrt[5]{\dfrac{243}{32}}=\frac{3}{2}=1,5$$

4) $$8+30-1,5=36,5$$

Vastus:

$$\left(\dfrac{1}{16}\right)^{-0,75}+810000^{0,25}-\left(7\dfrac{19}{32}\right)^{\frac{1}{5}}=36,5$$

Harjuta!

Q: Leia avaldise $$\left(\dfrac{16}{\:81}\right)^{-\frac{1}{2}}-125^{\frac{2}{3}}+32^{0,2}$$ täpne väärtus.

[...]
A: -20,75
  Hint: Kirjuta kümnendmurruna.