Title: Tehted juurtega/TEOORIA. NÄITED

Ilma pealkirjata Text

Credits: licence CC BY-SA 4.0

Tehted juurtega

Tehteid juurtega tehakse järgmiste eeskirjade järgi.

1. Juur korrutisest võrdub tegurite juurte korrutisega:

$$\color{blue} {\sqrt[n]{a\cdot b}=\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b}}$$.

Näide 1

$$\sqrt{225}=\sqrt{9\cdot 25}=\sqrt{9}\cdot \sqrt{25}=3\cdot 5=15$$

$$\sqrt{48}=\sqrt{3\cdot 16}=\sqrt{3}\cdot \sqrt{16}=4\sqrt{3}$$

$$\sqrt[3]{32}=\sqrt[3]{8\cdot 4}=\sqrt[3]{8}\cdot \sqrt[3]{4}=2\sqrt[3]{4}$$

Märkus See valem kehtib vaid juhul, kui eksisteerivad võrduse paremal poolel olevad juured, näiteks kirjutisel $$\sqrt{\left(-4\right)\cdot \left(-7\right)}=\sqrt{-4}\cdot \sqrt{-7}$$ ei ole reaalarvude hulgas mõtet, sest $$\sqrt{-4}$$ ja $$\sqrt{-7}$$ ei oma reaalarvulist väärtust.

Eespool toodud valemit saab üldistada ka mistahes arvu tegurite jaoks:

$$\color{blue} {\sqrt[n]{a_{1}\cdot a_{2}\cdot \:.\:.\:.\cdot a_{k}}=\sqrt[n]{a_{1}}\cdot \sqrt[n]{a_{2}}\cdot \:.\:.\:.\cdot \sqrt[n]{a_{k}}}$$

Näide 2

$$\sqrt{4\cdot 100\cdot 0,25}=\sqrt{4}\cdot \sqrt{100}\cdot \sqrt{0,25}=2\cdot 20\cdot 0,5=20$$

$$\sqrt{20}=\sqrt{4\cdot 5}=\sqrt{4}\cdot \sqrt{5}=2\sqrt{5}$$

$$\sqrt[5]{96a^5m^7x^2}=\sqrt[5]{96\cdot a^5\cdot m^7\cdot x^2}=\sqrt[5]{32\cdot 3\cdot \:a^5\cdot \:m^5\cdot m^2\cdot \:x^2}=\sqrt[5]{32\cdot a^5\cdot m^5}\cdot \sqrt[5]{3\cdot m^2\cdot x^2}=2am\sqrt[5]{3m^2x^2}$$

$$\sqrt[3]{\left(2x-y\right)^2\left(4x^2-y^2\right)}=\sqrt[3]{\left(2x-y\right)^2\left(2x-y\right)\left(2x+y\right)}=\sqrt[3]{\left(2x-y\right)^3\left(2x+y\right)}=\left(2x-y\right)\sqrt[3]{2x+y}$$

Märkus.

Kui ei ole eeldatud, et juuremärgi all olevad muutujad on mittenegatiivsed, siis tuleb paarisarvulise juurija korral kasutada absoluutväärtuse märki.

Näide 3

$$\sqrt[4]{16a^4b}=\sqrt[4]{16}\cdot \sqrt[4]{a^4}\cdot \sqrt[4]{b}=2\left|a\right|\sqrt[4]{b}$$

Harjuta!

Q: Leia juur korrutisest.

$$\sqrt{25\cdot 81\cdot 100}=$$[...]

$$\sqrt[3]{27b^3x^3}=$$[...]
A: 450; 3bx

Ilma pealkirjata Text

2. Juur murrust võrdub murru lugeja ja nimetaja juurte jagatisega:

$$\color{blue} {\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}}$$

Näide 4

$$\sqrt{\dfrac{25}{36}}=\dfrac{\sqrt{25}}{\sqrt{36}}=\dfrac{5}{6}$$

$$\sqrt[3]{4a^5b}:\sqrt[3]{2a^2b}=\sqrt[3]{4a^5b\::\:2a^2b}=\sqrt[3]{2a^3}=a\sqrt[3]{2}$$

$$\sqrt[6]{m^7n}:\sqrt[6]{m}=\sqrt[6]{m^6n}=\left|m\right|\sqrt[6]{n}$$

Harjuta!

Q: Kui $$\sqrt{\dfrac{81}{169}}=\dfrac{A}{B}$$, siis $$A$$=[...], $$B$$=[...].

$$\dfrac{\sqrt[3]{16a^3}}{\sqrt[3]{2}}=$$[...]
A: 9; 13; 2a

Ilma pealkirjata Text

3. Juure väärtus ei muutu, kui juurijat ja juuritava astendajat korrutada ühe ja sama naturaalarvuga või jagada nende ühise teguriga:

$$\color{blue} {\sqrt[np]{a^{mp}}=\sqrt[n]{a^m}}$$.

Märkus. Valem on õige vaid juhul, kui $$a>0$$.

Näide 5

$$3=\sqrt{9}=\sqrt[3]{27}=\sqrt[4]{81}$$

$$\sqrt[4]{w}=\sqrt[12]{w^3}=\sqrt[36]{w^9}$$

$$\sqrt[4]{2\sqrt{3}}=\sqrt[8]{\left(2\sqrt{3}\right)^2}=\sqrt[8]{4\cdot 3}=\sqrt[8]{12}$$

Harjuta!

Q: Lihtsusta, kui kõik tähed tähistavad positiivseid arve.

Kui $$\sqrt[18]{z^{12}}=\sqrt[A]{z^B}$$ siis $$A=$$[...] ja $$B=$$[...].

Kui $$\sqrt[12]{27p^9}=\sqrt[A]{Bp^C}$$, siis $$A=$$[...], $$B=$$[...] ja $$C=$$[...].
A: 3; 2; 4; 3; 3

Ilma pealkirjata Text

4. Juure juurimisel korrutatakse juurijaid:

$$\color{blue} {\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a}}$$.

Näide 6

Lihtsustada juured.

$$\sqrt{\sqrt{81}}=\sqrt[4]{81}=3$$

$$\sqrt[3]{\sqrt{100}}=\sqrt[6]{100}=\sqrt[6]{10^2}=\sqrt[3]{10}$$

$$\sqrt[7]{x^4\sqrt{x}}=\sqrt[7]{\sqrt{x^8}\sqrt{x}}=\sqrt[7]{\sqrt{x^9}}=\sqrt[14]{x^9}$$

Harjuta!

Q: Lihtsusta avaldis.

$$\sqrt{\sqrt[3]{5}}=\sqrt[A]{B}$$, $$A$$=[...], $$B$$=[...]

$$\sqrt[3]{3\sqrt{2}}=\sqrt[C]{D}$$, $$C=$$[...], $$D=$$[...]

$$\sqrt{k\sqrt{k}}=\sqrt[M]{k^N}$$, $$M=$$[...], $$N=$$[...]
A: 6; 5; 6; 18; 4; 3

Ilma pealkirjata Text

5. Juure astendamisel astendatakse juuritav:

$$\color{blue} {\left(\sqrt[n]{a}\right)^m=\sqrt[n]{a^m}}$$.

Näide 7

$$\left(\sqrt[4]{2}\right)^3=\sqrt[4]{2^3}=\sqrt[4]{8}$$

$$\left(\sqrt{5}\right)^3=\sqrt{5^3}=\sqrt{125}=\sqrt{25\cdot 5}=\sqrt{25}\cdot \sqrt{5}=5\sqrt{5}$$

$$\sqrt[4]{81^2}=\left(\sqrt[4]{81}\right)^2=3^2=9$$

$$\left(\dfrac{1\:}{2\:}\sqrt{5}\right)^3=\left(\dfrac{1}{2}\right)^3\cdot \left(\sqrt{5}\right)^3=\dfrac{1}{8}\cdot \sqrt{5^3}=\dfrac{1}{8}\cdot \sqrt{125}=\dfrac{1}{8}\cdot 5\sqrt{5}=\dfrac{5\sqrt{5}}{8}$$

$$\left(\sqrt{2}-3\sqrt{5}\right)^2=\left(\sqrt{2}\right)^2-2\cdot \:\sqrt{2}\cdot \:3\sqrt{5}+\left(3\sqrt{5}\right)^2=\left(\sqrt{2}\right)^2-6\sqrt{10}+9\cdot \:5=2-6\sqrt{10}+45=47-6\sqrt{10}$$

Harjuta!

Q: Lihtsusta avaldis.

$$\left(\sqrt{7^2}\right)^3=$$[...]

$$\left(3\sqrt[4]{9}\right)^2=$$[...]

$$\left(\sqrt{32}+\sqrt{2}\right)^2=$$[...]
A: 343; 27; 50