Title: Täisarvulise astendajaga aste/TEOORIA, NÄITED

Ilma pealkirjata Text

Credits: licence CC BY-SA 4.0

Vaatleme astet $$a^n$$, kus $$n\in \mathbb{Z}$$, mis tähendab, et astendaja on täisarv.

Astendaja on null

 Kui $$n=0$$ ja $$a\neq 0$$, siis

$${a^0=1} $$.

Näide

$$145^0=1$$;    $$\left(-0,89\right)^0=1$$;    $$\left(-4,5+3-4\dfrac{1}{34}\right)^0=1$$.

Pane tähele!

$$-4^0=-1$$

Harjuta!

Q: $$-5^0-\left(-4\right)^2+\left(\dfrac{1}{3}-4\right)^0=$$[...]

$$\left(-\dfrac{1}{2}\right)^2-4^0-\left(-7\right)^0+\left(-1\right)^{10}=$$[...]
A: -16; -0,75
  Hint: Kirjuta kümnendmurruna.

Ilma pealkirjata Text

Negatiivne astendaja

Negatiivse astendajaga aste defineeritakse võrdusega

$$\color{blue} {a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}}$$, kui $$\color{blue} {a\neq 0}$$.

Näited

$$2^{-4}=\dfrac{1}{2^4}=\dfrac{1}{16}$$

$$\left(-5\right)^{-3}=\dfrac{1}{\left(-5\right)^3}=-\dfrac{1}{125}$$

$$\left(\dfrac{2\:}{3}\right)^{-5}=\left(\dfrac{3}{2}\right)^5=\dfrac{243}{32}=7\dfrac{19}{32}$$

$$-0,4^{-2}=-\left(\dfrac{4}{10}\right)^{-2}=-\left(\dfrac{10}{4}\right)^2=-\left(\dfrac{5}{2}\right)^2=-\dfrac{25}{4}=-6\dfrac{1}{4}$$

$$\left(1\dfrac{2}{3}\right)^{-2}=\left(\dfrac{5}{3}\right)^{-2}=\left(\dfrac{3}{5}\right)^2=\dfrac{9}{25}$$

Harjuta!

Q: Kui $$7^{-3}=\dfrac{A}{B}$$, siis $$A$$=[...] ja $$B=$$[...].

Kui $$\left(2\dfrac{1}{9}\:\right)^{-1}=\dfrac{C}{D}$$, siis $$C=$$[...] ja $$D=$$[...].
A: 1; 343; 9; 19

Ilma pealkirjata Text

Astendamise põhivalemid

On võimalik tõestada, et astendamise eeskirjad (öeldakse ka põhivalemid), kehtivad ka juhul, kui astendajad on täisarvud.

Näited

$$2^3\cdot 2^{-5}=2^{-3+\left(-5\right)}=2^{-2}=\dfrac{1}{4}$$

$$x^{-4}:x^{-6}=x^{-4-\left(-6\right)}=x^2$$

$$m^{-4}:n^{-4}=\left(\dfrac{m}{n}\right)^{-4}=\left(\dfrac{n}{m}\right)^4=\dfrac{n^4}{m^4}$$

$$\left[\left(-x\right)^4\right]^{-7}=\left(-x\right)^{4\cdot \left(-7\right)}=\left(-x\right)^{-28}=\dfrac{1}{\left(-x\right)^{28}}=\dfrac{1}{x^{28}}$$

Kokkuvõte. Kui astendajaks on täisarv, siis aste $$a^n$$ on määratud järgmiselt:

Credits: by Oksana Labanova (Author); licence CC BY 4.0