Title: Kahendsüsteem/TEOORIA. NÄITED

Ilma pealkirjata Text

Credits: licence CC BY-SA 4.0

Kümnendsüsteem

Kümnendsüsteem on arvude üleskirjutamiseks positsiooniline süsteem, milles kasutatakse kümmet numbrit

$$0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$$

ning milles iga numbri tähendus sõltub tema asukohast (positsioonist) vaadeldavas arvus. Täisarvude puhul tähistab viimane number ühelisi, eelviimane kümnelisi jne.

Näide 1

$$4097=4\cdot 1000+0\cdot 100+9\cdot 10+7=4\cdot 10^3+0\cdot 10^2+9\cdot 10^1+7\cdot 10^0$$

Murdarvude (kümnendmurdude) puhul tähistab esimene number pärast koma kümnendikke, teine sajandikke jne.

Näide 2

$$3,08=3+0\cdot \dfrac{1}{10}+8\cdot \dfrac{1}{100}=3\cdot 10^0+0\cdot 10^{^{-1}}+8\cdot 10^{-2}$$

$$\dfrac{1}{6}=0,1666\:.\:.\:.=0\cdot 10^0+1\cdot 10^{-1}+6\cdot 10^{-2}+6\cdot 10^{-3}+\:\:.\:.\:.$$

Arve $$10^k$$ ($$k$$ on täisarv) nimetatakse järguühikuteks.

Kahendsüsteem

Arvutites osutus kümnendsüsteemi kasutamine väga ebamugavaks puhttehnilistel põhjustel: see vajanuks erakordselt keerulisi seadmeid. Seepärast loobusid konstruktorid kümnendsüsteemist. Tänapäeval elektronarvutites on arvud kirjutatud elementide abil, millel võib olla kaks püsivat seisundit: "impulss olemas" ja "impulssi ei ole". Kõige lihtsamaks osutus positsiooniline arvusüsteem, milles on vaja vaid kaht numbrit

$$0$$ ja $$1$$.

Kõik aritmeetikatehted on selles süsteemis väga lihtsad, aga see, et nad sisaldavad palju märke ja näevad välja hirmuäratavalt pikad, ei valmista arvutile mingeid raskusi, sest arvuti sooritab tehteid silmapilkselt.

Kahendsüsteemis arvude üleskirjutamiseks kasutatakse kahte numbrit $$0$$ ja $$1$$. Aluseks on siin arv $$2$$, kuid seda märgitakse kujul $$10$$ (selline on muide iga süsteemi aluse kirjutusviis). Kui liidame sellele arvule $$1$$, saame $$11$$, mis on kümnendsüsteemis arv $$3$$. Kui liidame arvule $$11$$ arvu $$1$$, saame kahendsüsteemi arvu $$100$$ jne.

Märkus

Mitmekohalist arvu kahendsüsteemis tuleb lugeda nii, nagu oleks iga koht nimetatud eraldi; näiteks 10 tuleb lugeda "üks, null", mitte "kümme".

Kahendsüsteemis kirjutatud arvu eristamiseks kümnendsüsteemis kirjutatud arvust märgitakse kahendsüsteemi puhul arvu lõppu allindeks $$2$$.

Näide 3

$$1_{2}=1$$

$$10_{2}=2$$

$$11_{2}=3$$

$$100_{2}=4$$

Järgnevalt on antud kolm kümnendsüsteemi arvu. Kirjuta need kahendsüsteemis.

Q: $$5=$$[...]_2

$$6=$$[...]_2

$$9=$$[...]_2
A: 101; 110; 1001

Ilma pealkirjata Text

Mõned kümnendsüsteemi arvud ja neile vastavad kahendsüsteemi arvud on toodud järgnevas tabelis.

Ilma pealkirjata Table

Kümnendsüsteemi arv | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10
Kahendsüsteemi arv | 1 | 10 | 11 | 100 | 101 | 110 | 111 | 1000 | 1001 | 1010
Kümnendsüsteemi arv | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 20 | 43 | 50 | 90 | 100
Kahendsüsteemi arv | 1011 | 1100 | 1101 | 1110 | 1111 | 10100 | 101011 | 110010 | 1011010 | 1100100