Title: Reaalarvude piirkondade ühend/TEOORIA. NÄITED

Ilma pealkirjata Text

Credits: licence CC BY-SA 4.0

Reaalarvude piirkondade ühend

Meenuta, et kahe hulga, $$A$$ ja $$B$$, ühendiks nimetatakse hulka, mille elementideks on nii hulga $$A$$ kui ka hulga $$B$$ kõik elemendid ja ainult need.

Hulkade ühendi tähistamiseks kasutatakse sümbolit $$\cup$$.

Kuidas leida reaalarvude piirkondade ühend?

1. Märgi mõlemad arvuhulgad arvteljele (erinevate hulkade märkimiseks võid kasutada erinevaid värve).
2. Leia jooniselt piirkond kõigi punktidega, mis said arvteljele kantud.
3. Kirjuta vastus välja.

Märkus 1

Kui otspunkt kuulub hulka, siis kirjuta vastus sissepoole suluga (joonisel on otspunkti juures kandiline ots).
Kui otspunkt ei kuulu hulka, siis kirjuta vastus väljapoole suluga või ümmarguse suluga (joonisel on otspunkti juures ümar ots).

Märkus 2

Juhul, kui ära saab märgitud kogu arvtelg, siis võib lühidalt vastuseks kirjutada kogu reaalarvude hulga ehk $$\mathbb R$$.

Näide 1

$$A=\left( 3;\infty \right)$$, $$B=\left[ -1;7\right)$$.

Leiame hulkade $$A$$ ja $$B$$ ühendi $$A\cup B$$.

Joonestame arvtelje.

Credits: by Oksana Labanova (Author); licence CC BY 4.0

Ilma pealkirjata Text

Märgime arvteljele piirkonna $$A$$.

Ilma pealkirjata Text

Märgime samale arvteljele piirkonna $$B$$.

Ilma pealkirjata Text

Hulkade $$A$$ ja $$B$$ ühend on piirkond, mida moodustavad kõik punktid, mis on arvteljele kantud.

Ilma pealkirjata Text

$$A\cap B=[-1; \infty)$$

Ilma pealkirjata Text

Näide 2

$$P=\left\{ x|x\leq5\right\}$$, $$L=\left( 10\dfrac {1}{3};12\right)$$

$$P\cup L=?$$

Märgime mõlemad piirkonnad ühisele arvteljele.

Ilma pealkirjata Text

Hulkade $$P$$ ja $$L$$ ühend on hulk, kuhu kuuluvad mõlema hulga punktid, seega

$$P\cup L=(-\infty; -5]\cup (10\dfrac {1}{3};12)$$

Ilma pealkirjata Text

Näide 3

$$X=[-2; 11)$$, $$Y=(0; \infty)$$, $$Z=(-\infty; 4]$$

$$(X\cup Y)\cup Z=?$$ (vaata joonist)

Ilma pealkirjata Text

Kuna sai ära märgitud kogu arvtelg, siis võib lühidalt vastuseks kirjutada kogu reaalarvude hulga ehk

$$(X\cup Y)\cup Z=\mathbb R$$.

Ilma pealkirjata Guess the Answer

Q: Mõtlemiseks

Mida tähendab sümbol "$$\setminus$$"? Mõtle, kuidas saab esitada hulga $$A=\mathbb{R}\setminus\{-7\}$$ sümboli $$\cup $$ abil.
A: Hulkade $$A$$ ja $$B$$ vaheks $$A\setminus\{B\}$$ nimetatakse hulka, mis koosneb kõikidest hulga $$A$$ elementidest, mis ei kuulu hulka $$B$$.
$$\mathbb{R}\setminus\{-7\}=\left( -\infty ;7\right)\cup \left( 7;\infty \right)$$

Ilma pealkirjata Guess the Answer

Q: Kuidas saab esitada hulga $$\mathbb{R}\setminus[3;8)$$ sümboli $$\cup $$ abil?
A: $$\mathbb{R}\setminus[3;8)=\left( -\infty ;3\right)\cup \left[ 8;\infty \right)$$