Title: Reaalarvude piirkondade ühisosa/TEOORIA. NÄITED

Ilma pealkirjata Text

Credits: licence CC BY-SA 4.0

Reaalarvude piirkondade ühisosa

Meenuta, et kahe hulga $$A$$ ja $$B$$ ühisosaks nimetatakse hulka, mille elementideks on hulkade $$A$$ ja $$B$$ kõik ühised elemendid ja ainult need.

Hulkade $$A$$ ja $$B$$ ühisosa tähis on $$A\cap B$$.

Kuidas leida reaalarvude piirkondade ühisosa?

1. Märgi mõlemad arvuhulgad arvteljele (erinevate hulkade märkimiseks võid kasutada erinevaid värve).
2. Leia jooniselt piirkond nende hulkade ühiste punktidega (topelt viirutatud piirkond).
3. Kirjuta vastus välja.

Märkus 1

Kui otspunkt kuulub hulka, siis kirjuta vastus sissepoole suluga (joonisel on otspunkti juures kandiline ots).
Kui otspunkt ei kuulu hulka, siis kirjuta vastus väljapoole suluga või ümmarguse suluga (joonisel on otspunkti juures ümar ots).

Märkus 2

Juhul kui arvteljele ei saa märgitud ühtegi ühist punkti, siis võid vastuseks lühidalt kirjutada tühja hulga $$\varnothing$$.

Näide 1

$$A=\left( 3;\infty \right)$$, $$B=\left[ -1;7\right)$$.

Leiame hulkade $$A$$ ja $$B$$ ühisosa $$A\cap B$$.

Joonestame arvtelje.

[Image: www]

Ilma pealkirjata Text

Märgime arvteljele piirkonna $$A$$.

[Image: www]

Ilma pealkirjata Text

Märgime samale arvteljele piirkonna $$B$$.

[Image: www]

Ilma pealkirjata Text

Hulkade $$A$$ ja $$B$$ ühisosa on topelt viirutatud piirkond ehk kõik reaalarvud, mis kuuluvad nii hulka $$A$$ kui ka hulka $$B$$.

Ilma pealkirjata Text

$$A\cap B=(3; 7)$$

Ilma pealkirjata Text

Vastus: $$A\cap B=(3; 7)$$

Ilma pealkirjata Text

Näide 2

$$P=\left\{ x|x\leq5\right\}$$, $$L=\left( 10\dfrac {1}{3};12\right)$$

$$P\cap L=?$$

Märgime mõlemad piirkonnad ühisele arvteljele.

Ilma pealkirjata Text

Kuna arvteljel ei ole ühtegi hulkade $$P$$ ja $$L$$ ühist punkti, siis nende hulkade ühisosa puudub ehk $$P\cap L=\varnothing$$.

Näide 3

$$X=[-2; 11)$$, $$Y=(0; \infty)$$, $$Z=(-\infty; 4]$$

$$(X\cap Y)\cap Z=(0; 4]$$ (vaata joonist)

Ilma pealkirjata Text

Kokkuvõte

Arvuhulkade ühisosa leidmisel toimi nii:

1. kanna mõlemad arvuhulgad arvteljele;
2. viiruta piirkond nende hulkade ühiste punktidega;
3. kirjuta vastus nurksulgude abil:
a. kui otspunkt kuulub hulka, siis sissepoole suluga (joonisel on otspunkti juures kandiline ots);
b. kui otspunkt ei kuulu hulka, siis väljapoole suluga (joonisel on otspunkti juures ümar ots).