El método de Montecarlo

El método de Monte Carlo es un método aproximado para cuando no es posible un cálculo exacto. Se llamó así en referencia al Casino de Monte Carlo (Principado de Mónaco) por ser “la capital del juego de azar”, al ser la ruleta un generador simple de números aleatorios. El nombre y el desarrollo sistemático de los métodos de Montecarlo datan aproximadamente de 1944 y se mejoraron enormemente con el desarrollo de la computadora, que permite realizar muchas simulaciones rápidamente.

Es conocido que esta función no se puede expresar de forma simple:

A menudo se dice, un poco incorrectamente, que "no se puede integrar".

Sin embargo, esta función es muy útil, y conviene tener una manera de calcular sus valores. ¿Cómo podríamos hacerlo?

Hay una solución, que es más ingenieril que matemática. Se dibuja la función a integrar, se cuelga en una pared, se disparan miles de dardos aleatóriamente, y se cuentan cuántos han dado en la gráfica; el total de los aciertos es una buena aproximación al área bajo la función, y por tanto al valor de la integral.

Compruébalo en directo. El área teórica es de 1.

Empezar

¿Cuántos dardos hay que disparar? La respuesta la da la estadística, irónicamente usando la misma función que estamos calculando.

El área total de la simulación es 6·0.5 = 3. El área teórica bajo la función es 1. El total de aciertos se distribuye como una Binomial, donde la probabilidad de cada acierto es 1/3. Sabemos que cuando n es grande:

La fórmula que usamos para estimar la integral a partir de los aciertos es:

Por tanto, la integral se distribuye como:

Dentro de 2 desviaciones estándar hay el 95% de la área. Dicho de otra manera, un 95% de las veces la estimación de la integral estará en el intervalo:

Para que este error sea más pequeño que 1 decimal, n debe ser: